二次同余式与平方剩余【DOC精选】.docVIP

第五章 二次同余式与平方剩余 本章的目的是较深入地讨论二次同余式。讨论方法是把问题归结到讨论形如的同余式，进而引入平方剩余和平方非剩余的概念，再应用数论中常用的函数(勒让德符号及雅可比符号)去讨论m是单质数的情形，进而讨论一般的情形。最后还应用本章结果解决两个不定方程的问题，并介绍一下与它们有关的著名的华林问题。 教学内容:1.一般二次同余式 教学目的: 了解一般二次同余式及平方剩余，平方非剩余的概念： 教学重难点: 平方剩余的概念 教学过程: 本节主要讨论二次同余式，讨论方法是把问题归结到讨论形如的同余式，进而引入平方剩余和平方非剩余的概念，再应用数论中常用的函数讨论m是单质数的情形，进而讨论一般的情形： 基本概念： 首先：二次同余式的一般形式：（1） 用4a乘（1）式再加上得： 若令则上式变为（2） 具体分析过程见书上P74: 由同于是的性质可知（2）与（1）式同时有解或同时误解：故讨论（1）式有解的问题可以转为讨论（2）式有解的问题：为了讨论（2）式是否有解，我们引入平方剩余和平方非剩余的概念： 定义：假设（a,m）=1，如果同余式有解，则a叫做模m的平方剩余，否则叫做模m的平方非剩余： 例：根据同余式解的形式：他的接有0，1，2，3，4，5，6这7中可能，而a有1，2，3，4，5，6这六种可能，严整可知 当a取1，2，4是有解，当a取3，5，6时误解， 故1，2，4为模7的平方剩余，而3，5，6为模7的平方非剩余： 教学内容:2.单质数的平方剩余与平方非剩余 教学目的: 了解单质数的平方剩余，平方非剩余的基本性质及判别方法： 教学重难点: 平方剩余，平方非剩余的判别 教学过程: 这节我们讨论单质数p的平方剩余，平方非剩余： 判别方法： 定理1：（欧拉判别条件）：若（a,p）=1，则a是模p的平方剩余的充要条件是： ：而a是模p的平方非剩余的充要条件是： 证明：见书上P76： 由此定理我们就可以判别单质数p的平方剩余，平方非剩余： 二．基本性质： 定理2：模p的平方剩余和平方非剩余各为，而且个平方剩余分别与序列中之一数同余，且仅与一数同余： 证明：见书上P77： 关于平方剩余和平方非剩余具有以下性质： 定理3：对于同一素数p来说： 二平方剩余之积仍是平方剩余： 一平方剩余与一平方非剩余之积为平方非剩余： 二平方非剩余之积为平方剩余： 证明：1。设均为模p的平方剩余，即有两数 使的于是有 这说明是模p的平方剩余：故证。 2．设a为模p的平方剩余，故有(a,p)=1，由于1，2，……p-1是模p的简化剩余系，故a,2a,……(p-1)a也是模p的简化剩余系，而1，2，……p-1中有个数为平方剩余，故a与这个平方剩余之积仍是平方剩余，因而，在a,2a,……(p-1)a中除去这些平方剩余后，剩下全为平方非剩余，即一平方剩余与一平方非剩余之积为平方非剩余： 3．设b为模p的平方非剩余，则简化剩余系b,2b,……(p-1)b 中，个平方非剩余是b与平方剩余之积，而个平方剩余是平方非剩余b与平方非剩余之积,所以，二平方非剩余之积为平方剩余： 一般二次同余式 　　在第四章中，我们讨论了高次同余式的解的一般理论，但在实际中，要解一个高次同余式一般比较困难。在本章我们重点讨论二次同余式的解法。思路是先把一般二次同余式化为特殊的二次同余式，再引入平方剩余与平方非剩余，并利用勒让得符号来判断特殊二次同余式是否有解。 　　二次同余式的一般形式 　二次同余式的一般形式是 　，0　（）　 　　　　　　（1） 　　化一般二次同余式为特殊二次同余式 　　由高次同余式的理论知，若的标准分解式为， 　　则（1）有解的充要条件是下面同余式组中每个同余式有解。 　　　　　　　　　 　　于是要判别（1）是否有解及如何解（1），我们可重点讨论 　　　　　为质数。 （2） 　　下面对（2）分情况进行讨论。找到（2）有解的判别法。 　　由于（2）为二次同余式，故可假定，若有　但(,,)，则（2）化为。 　　而。故还可假定(,,)。 　　1) |，|。则。因而同余式无解。故（2）设有解。 　　2) |，。则无解，故（2）有解的充要条件是有解，即有解。 　　但（，）＝1。故有解，从而（2）有解，且（2）的解可由的解求出。 　　3)　，2。则。用4乘（2）后再配方，即得 　　　　　　　　　　（3） 易证（2）和（3）等价。用代2＋得 　　　　　　　　　　　　　　　　　（4） 　　则（2）有解的充要条件是（4）有解，于是将（2）化为（4）讨论。 　　4)，＝2。这时为奇。 　　（i）若2，则无解。故（2）有解的充要条件是有解。 　　因对任何整数恒有。所以（2）有解的充要条件是有解，即2|。 　　（ii）　若2|，令。由知 （2）有解的充要条件是有