二次函数相似三角形专题【DOC精选】.docVIP

九年级数学第二轮专题复习 1、如图，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P是抛物线上的一个动点且在x轴上方，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； 所以抛物线的解析式为： （2）设点P的坐标为 2、直线分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点． (1) 写出点A、B、C、D的坐标； (2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)． （2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以 解得 所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°． 因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么． Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况： ①当时，．解得．所以，． ②当时，．解得．所以，． 图2 图3 另解：如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N． 通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°． 在Rt△BGH中，，． ①当时，． 在Rt△BQN中，，． 当Q在B上方时，；当Q在B下方时，． ②当时，．同理得到，． 考点归纳：图形旋转的性质；求二次函数解析式；动点问题中确定两个三角形相似的基本解题思路；考查数学分类讨论思想。 3、如图，平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)二点，且对称轴为直线x=-1。 （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式； （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标． 解：（1）设抛物线的解析式为 ，有过A（-4，0）和B（0，-4），得： 解得： 则抛物线的解析式为： (2)如图2，直线AB的解析式为y＝－x－4．过点M作x轴的垂线交AB于D，那么．所以 ． (3) 当OB为平行四边形的一边时，则PQ//OB，PQ＝OB＝4 。 设点Q的坐标为，点P的坐标为． ①当点P在点Q上方时，．解得． 此时点Q的坐标为（如图3），或（如图4）． ②当点Q在点P上方时，． 解得或（与点O重合，舍去）．此时点Q的坐标为(－4,4) （如图5）． 图3 图4 图5 当OB为平行四边形的对角线时，由图形的中心对称易得Q的坐标为（4，-4） 考点归纳：求二次函数解析式；坐标系中图形面积的求法；平行四边形的判定；数学分类讨论思想。 4、如图，经过原点的抛物线 与x轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。 （1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长； （2）连结CA，问m为何值时CA⊥CP？ （3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在x的正半轴上？若存在，求出m的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）当m=3时，y=－x2＋6x。 令y=0得－x2＋6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A（6，0）。当x=1时，y=5。∴B（1，5）。 ∵抛物线y=－x2＋6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称， ∴BC=4。 （2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1） 由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。 又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PC