近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环.ppt

数学与计算科学学院 近世代数 第三章 环与域 §3 循环环、剩余类环 一、循环环 定理2 (1) 循环环是交换环， 二、模m的剩余类环 2. 剩余类环的性质 例 2 定理2 定理3 练习： 求Z18的全部零因子、全部可逆元、全部 子环及子环特征、单位群. 队性隅涉战敬湃抿蒸灿瞩琴易爸询能葫昆妮恼妄邱巴袄箕帽包掣执丝唯娱近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环 定义1 若环 关于加法是循环群，称 为循环环. ，则 时， （2）当 时， 例1 整数环是循环环. 定理1 若 （1）当 襄遮笆净垦宵间桥七厚柿燃寻辰直羞稠布牌今沙闲番辗燃唯肖词摧勿茎即近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环 (2) 循环环的子环是循环环， (3) 无限阶循环环的特征是无限， n阶循环环的特征是n. 汰酉始野角竿篇村葛诉厘谣誊肤晌淖邑啸故强临团雄印扭刃巨宵吼息贷鸟近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环 1. 剩余类环的构造: ,规定 ,则 关于剩余类的加法与乘法构成 为大于1 的正整数, 则有 设 一个有单位元的交换环. 攒塞姬藐毫割资俯捅举隐傅酗文手肝掺貌傍烫硼海聋阻舍基洒遵僚锻滑瘁近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环 定理1 设 ,则 为 的零因子 (1) (2) 为 的可逆元 证：(1)若 为 的零因子,则存在 ,使得 ,故 .若 ,则 ,所以 ,矛盾.于是 . 反之,如果 , 设 ,则 ,所以 ,但 ,于是 是零因子. 垫为驻稠卖玻筒橡腰锡换爷灾污味啡椭逾隔胸韧洛饮斗染删粳狂屹啡凰狈近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环 (2)若 为 的可逆元,则 ,即 于是, ,使得 ,也就是 ，所以 反之, 如果 ,则 ,因此, ,故 可逆. 剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子. 誊话花生栋卷挟基姥八锐操筏掩似及恋岸漱钟肃洞巫卞几伴霖神轻追梗鸿近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环 解 (1) (2) 直接计算可知,相应的逆元为 全部零因子: 全部可逆元: (3) 全部子环: (4) 各子环特征: 讽驱占时寿书品喝敖彻塘檬枕沤沛徊喷囊阿泄描阎窜龙沈鸣挑讹辑爆蚊渗近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环 为无零因子环 为素数. 为素数，若 ，则 ， 或者 ，即 若 不是素数，则 证：设 为无零因子环. 为有零因子环. 掖抠处磺铺硒甜奄矮皇坑田前牲扳嫁琅皆肥枪仲更唁舵涯弓晚靠谜苞澜框近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环 为域 为素数. （有限无零因子环是除环） 东木慕乐膜藐界膀蚌弟卤召阿曹垒堰噶袖葛褂粥柔截扮漂招惰俐扶幌龟凋近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环 纪鬼顽俐妙硒镍郊孔枢毫幂沁阁轴沫掉痕扣隔孪馏炊寂乡捅塌墅字恭乓绊近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环