二进位制与多进位制(含答案)-【DOC精选】.docVIP

第九节 二进位制与多进位制 内容讲解 十进位制的数有十个数字0、1、2、…、9，进位的规则是“逢十进一”．十进制数的一般形式为 a1×10n-1+a2×10n-2+…＋an×100（an取0、1、2、…、9，n取正整数，100=1）． 二进位制的数只有两个数字0、1，它的进位规则是“逢二进一”，2是二进位制的进位单位．同十进位制的数一样，二进位制的数可以比较大小，它可以进行加、减、乘、除四则运算．由于计算机的计算与记忆元件．只有“开”和“关”两种状态，因此，计算机上通用的是二进位制．二进位制的数一般形式为：a1×2n-1+a2×an-2+…+an×20（a取0，1，n取正整数）． 将十进制的数化为二进制的数，只要不断地用2去除，直到商为0为止．得到的余个余数，就是二进制的数字，把它们依次排出，就得到与十进制数相等的二进制数．例如： 将二进制的数化为十进制的数，只要将二进制数的每个数字，依次乘以2的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数．例如： 1012=1×22+0×21+1×20=4+1=5； 110102=1×24+1×24+1×23+0×22+1×21+0×20=18+8+2=26． 用类似的方法，可以将多种进位制的数，化为与其相等的十进制数，k进位制的数（k取2≤k≤9的整数）的一般形式为： a1kn-1+a2kn-2+…＋ank0（a取0≤an≤k的所有整数，n取正整数）． 这种表示法可以把任意一个k进制数，化为与其相等的十进制数．要将十进制数化为与其相等的k进位制数，可用k去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．例如：3217=3×72+2×71+1×70=147+14+1=162；而 例题剖析 例1 计算（1）110112+100102； （2）11012×1102． 分析：利用下面的加法与乘法表，用竖式计算．表中第一行与第一列的数字相加（乘），其和（积）为行列交叉处的数．加法表与乘法表如下所示： 解：用竖式进行计算： ∴110112+100102=1011012； 11012×1102 评注：二进制的四则运算十分简便，计算中要注意进位规则为“满二进一”． 例2 计算（1）100112-10102； （2）1011012÷1012． 分析：仿十进制数做减法与除法，用竖式进行计算． ∴100112-10102=10012； 1011012÷1012=10012． 评注：二进制数的减法借位规则为“借一为二”，与十进制数竖式除法相类似，不够商时，用0占位． 例3 某商店将61件分成6箱事先装好，便于顾客购买时，不管买几件商品都不需要打开包装，就能满足顾客要求，问每箱应事先放几件商品？ 分析：问题是如何在1～61之间选6个数，使其和为61，且又能通过求和，表示出1～61之间的各个数．将6位的二进制数（由于每箱都不能空，所以每位上数字都是1），化为十进制数，可得到各箱应装的商品数． 解：∵1111112=25+24+23+22+21+20 =32+16+8+4+2+1=6310． 注意到6361，∴第6箱内不装入32件，而装32-（63-61）=30（件）． 答：各箱中应放入的商品数，分别是1件、2件、4件、8件、16件、32件． 评注：如果需要的商品数小于30W年，可以从前面5个盒子中，挑选若干个盒子就可满足；如果需要的商品数大于或等于30件，可先取第6个盒子，其余的由前5个盒子中，挑选若干个盒子来补足． 例4 利用二进制数，证明（232-1）一定能被15整除． 分析：先把232-1与3、5三个数，分别用二进制数表示，然后证明232-1能被3、5整除即得． 证明：∵310=112，510=1012． 232-1=． 用竖式做除法，如下所示： 被除数中，（1）每两位数都能被112除尽，（2）每四位数能被1012除尽．因为32是2的倍数，也是4的倍数，所以232-1既能被3除尽，也能被5除尽，此数一定能被15整除． 评注：此证明就是借助二进制数做除法，比较容易判断能否整除的优势来做的． 例5 比较7249，2102123，58810，10010011112的大小． 分析：相比较的4个数中，分别是九进制数、三进制数、十进制数和二进制数，先把它们化为十进制数，再比较大小． 解：7249=7×92+2×91+4×90=58910， 2102123=2×35+