二重积分【DOC精选】.docVIP

第十章 二重积分 (Double Integral) 第三节 二重积分的应用 (Application of Double Integral) 教学目的：1.掌握二重积分的几何应用（体积、面积） 2.掌握二重积分的物理应用（质量、重心、转动惯量） 3.进一步加强二重积分的计算 教学内容：1.二重积分在几何上的应用 2.平面薄片的重心 3.平面薄板的转动惯量 教学重点：1.被积函数、积分区域的确定 2.利用公式计算二重积分 教学难点：被积函数、积分区域的确定 教 具：多媒体课件 教学方法：讲授法 精讲：重点讲清怎样把所求的问题转换为二重积分来计算 多练：在讲授后，通过练习、讨论和分析归纳帮助学生自我消化、自我提高，从而培养学生的计算能力。 教学过程： 一、二重积分在几何上的应用 ★体积和平面图形的面积 二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积，所以可以应用二重积分计算体积 例1球体被圆柱面所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积 解：由对称性，所求体积等于第一卦限部分的体积的四倍。即, 采用极坐标，D可表示为 于是 例2求曲线与直线及围成平面图形的面积 解:设所求图形的面积为S，所占区域为D，则 采用极坐标，则可表示为 于是 ★曲面的面积 设曲面由方程给出,为曲面在面上的投影区域,函数在上具有连续偏导数和,现计算曲面的面积。 在闭区域上任取一直径很小的闭区域 (它的面积也记作),在内取一点,对应着曲面上一点,曲面在点M处的切平面设为T。 以小区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面, 该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面T上截下一小片平面,由于的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。 曲面在点M处的法线向量( 指向朝上的那个 )为 它与z轴正向所成夹角的方向余弦为 所以 这就是曲面的面积元素, 故 这就是计算曲面面积的公式 设曲面的方程为，可分别把曲面投影到面上或面上，类似地可得 或 例3求球面的面积。 解：由对称性，先考虑上半球面， ，， 二、平面薄片的重心 ★平面上的质点系的重心 设面上有n个质点，分别位于点，质量分别为，由力学知识可知，质点系对轴和轴的力矩分别为： ，总质量为 其质点系的重心坐标为 , ★平面薄片的重心 设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,如何确定该薄片的重心坐标。 在闭区域上任取一直径很小的闭区域（也表示小闭区域的面积），是这个小闭区域内的一点，由于的直径很小，且在上连续，所以薄片中相应于的部分的质量近似等于，这部分的质量可以近似地看作集中在点处，于是小区域对轴、轴的力矩为，这就是力矩元素,于是 又平面薄片的总质量为： 从而,薄片的重心坐标为 特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则 显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。 例4设有一等腰直角三角形薄板，已知其上任一点处的密度与该点到直角顶点的距离的平方成正比，求薄板的重心。 三、平面薄片的转动惯量 ★平面质点系对坐标轴的转动惯量 设平面上有个质点, 它们分别位于点处, 质量分别为 。则质点系对轴及对轴的转动惯量依次为 ★平面薄片对于坐标轴的转动惯量 设有一个薄片,占有面上的闭区域在点处的面密度为, 假定在上连续。 现要求该薄片对于轴、轴的转动惯量。 与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为 从而， 例5设有一高为h，底边长为2b的等腰三角形均匀薄板，求它对底边的转动惯量。 解：设密度为，薄板与它的高对称且为匀质，所以所求的转动惯量为 ，又因为，所以 练习：（1）D的面积公式是什么？ （）所围成的立体的体积 小结：★何应用：曲顶柱体的体积、平面图形和曲面的面积 物理应用：重心、转动惯量 作业：P228 B组 1；4；6；7