二重积分的变量变换【DOC精选】.docVIP

§4 二重积分的变量变换 教学目的： 了解二重积分的一般的变量变换公式， 掌握二重积分的极坐标变换， 理解二重积分的一般的变量变换公式的证明. 教学重点： 二重积分的极坐标变换. 教学难点： 二重积分的一般的变量变换公式. 教学过程 一、二重积分的变量变换公式 引理 设变换：，将平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域，一对一地映成平面上的闭区域，函数，在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 =0，， 则区域的面积 = . （5） 证明 现给出在内分别具有二阶连续偏导数时的证明，在内分别具有一阶连续偏导数的证明以后给出． 由于变换是一对一的，且0，因而把的内点变为的内点，所以的按段光滑边界曲线变换到时，其边界曲线也是按段光滑曲线，设曲线的参数方程为 =，=． 由于按段光滑，所以，在上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点上都是连续的．因为，所以的参数方程为: ． 若规定从变到时，对应于的正向，则根据格林公式，取，有 ==, （6） 另一方面，在平面上 = , （7） 其中正号及负号分别由从变到时，是对应于的正向或是负方向所决定．由（6）及（7）得到 ==． 令，在平面上对上式应用格林公式，得到 = 由于函数具有二阶连续偏听偏信导数，即有，因此 =， 于是 =． 又因为总是非负的，而在上不为零且连续，故其函数值在上不变号，所以=． 定理21.13 设在有界闭区域上可积，变换：，将平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成平面上的闭区域，函数，在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 =0，， 则 =． 证明 用曲线网把分成个小区域，在变换作用下区域也相应地分成个小区域，记及的面积为及由引理及二重积分的中值定理，有 ==, 其中．令，，则．作二重积分的积分和 ==, 上式右边的和式是上的可积函数的积分和．又由变换的连续性可知，当区域的分割的细度时，区域相应的分割的细度也趋于零．因此得到 =． 例1 求，其中是由所围区域. 解 作变换即,则=, ====. 例2 求抛物线，和直线，所围成区域的面积． 解 的面积= 作变换，=. === =. 二、 用极坐标计算二重积分 :,（8） 定理21.14 设满足定理21．13的条件，且在极坐标变换（8）下，平面上有界区域与平面上区域对应，则成立 =. 证明 若为圆域，则为平面上的矩形区域．设为在圆环中除去中心角为的扇形所得的区域，则在变换（8）下，对应于平面上的矩形区域=．但极坐标变换（8）在与之间是一对一变换，且在上函数行列式．于是由定理21．13有 =， 因为在有界闭区域上有界，在上式中令即得 =. 若是一般的有界区域，则取足够大的，使包含在圆域 = 内，并且在上定义函数 =， （ⅰ）若原点,平面上射线=常数与的边界至多交于两点.表示为，于是有 =. 若原点,平面上的圆=常数与的边界至多交于两点． 表示为，于是有 =． （ⅱ）若原点为的内点，的边界方程表示为，则 表示为，于是有 =. （ⅲ）若原点在的边界上，则为 ， 于是有 =. 例3 计算=，其中为圆域. 解 ====. 例4 球被圆柱面所割下部分的体积． 解 =4 =4= =. 例5 计算=，其中为圆域： 解 ==，作广义极坐标变换 :,， ， 例6 求椭球体的体积. 解 =8,广义极坐标变换 =8=， 当时得到球的体积为. 作业 1，2，3，4，5，6. 7