二项式定理0【DOC精选】.docVIP

二项式定理 1.二项式定理： (a+b)n=. 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式. 2.二项式展开式的通项. (a+b)n展开式中的第r+1项Tr+1=称为二项展开式的通项公式，它表示展开式的第r+1项. 3.二项展开式的中间项二项式系数最大.当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，这项是第项，它的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等并且最大，这两项是第项和第项，它们的二项式系数最大. 4.系数和. (a+b)n= 令a=1,b=1,则有 令a=1,b=-1，则有， 即.由此可得：①二项式系数和为2n；②各奇数项二项式系数和等于各偶数项二项式系数和，都等于2n-1． 【例1】 在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为 ( ) A.160 B.240 C.360 D.800 【解前点津】 本题有三种解法：一是化为二项式问题来解；二是分解因式后，利用二项展开式知识来解；三是考虑其展开式中符合条件的项的系数，分析求解. 解法一 ：(x2+3x+2)5=［(x2+3x)+2］5则 Tk+１=(x2+3x)5-k·2k，再一次使用通项公式，有 Tr+1=·2k··3r·x10-2k-r，其中0≤k≤5,0≤r≤5-k,令10-2k-r=1,即 2k+r=9. ∴r=1,k=4,即x的系数为·24·3=240.故选B． 解法二：由(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5，得含x的一次项系数为=240.故选B． 解法三：(x2+3x+2)5是5个三项式相乘，从其中一个取3x,从另外4个三项式中取常数项相乘，即得含x的一次项系数为 例2 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的得系数为：， 由已知：，∴通项公式为为有理项，故是4的倍数∴ 依次得到有理项为． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项．类似地，的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17项． 例3 求的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项． 分析：本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系数的最大值，需要对所有项的系数的变化规律进行研究．由于系数的绝对值都是正数，我们可以用作商来研究系数绝对值的变化情况，另外各项系数正负交替，又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值． 解：展开式的通项公式为：系数的绝对值为，记为． 用前后两项系数的绝对值作商得： 令 得： 即、1、2时，上述不等式成立． 所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小． 系数绝对值最大的项为第4项，． 从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数， 所以，系数最大的项为第5项，． 例3 已知，求：（1）；（2）；（3）． 分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果．字母经常取的值有0、1、－1等． 解：（1）取可得，取得．∴.（2）取得， 记．∴． 可得从而． （3）从（2）的计算已知． 说明：赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于展开式为多项式的代数式的系数和大多数也能用此方法解决，如：的展开式中各项的系数和为多少？可以看到的展开式仍是多项式，令，即得各项系数和为．再比如：，则等于多少？本题可以由取得到各项系数和，取得到奇数项系数和减去偶数项系数和，两式相加可得．此外，为了赋值的需要，有时需要用一个新的二项式替换原来二项式，只要它们的系数等同即可．如：的展开式中各项的系数和是多少？我们可以用一个更简单的二项式代替原来的二项式，它们的系数并不改变，令便得各项系数和为． 例4 （1）求展开式中的系数；（2）求展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）展开式中的可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用展开式中的常数项乘以展开式中的项，可以得到；用展开式中的一次项乘以展开式中的项可得到；用中的乘以展开式中的可得到；用 中的项乘以展开式中的项可得到，合并同类项得项为： ．（2） ．由展开式的通项公式，可得展开式的常数项为． 说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决． 例5 求展开式中的系数． 分析：不是二项式，我们可以通过或把它看成二项式展开． 解：