二项式定理__习题精选【DOC精选】.docVIP

二项式定理 习题精选　　一、与通项有关的一些问题 　　例1．在的展开式中，指出：1）第4项的二项式系数， 2）第4项的系数， 3）求常数项 　　解:展开式的通项为展开式中的第r+1项. 　　1），二项式系数为； 　　2）由1）知项的系数为； 　　3）令6-3r=0, ∴r=2, ∴常数项为. 　　例2．若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项. 　　分析:通项为, 　　∵前三项的系数为，且成等差， 　　∴ 　　即 解得:n=8. 　　从而，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除. 　　 　　 例3．1）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数. 　　解:1） 　　通项， 　　令6-2r=0,　 r=3, 　　∴ 常数项为. 　　2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5 　　∴ 展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到，即为，因而其系数为240. 　　例4．(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________. 　　分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为. 　　小结:三项式的展开，或者转化为二项式展开，或者采用得到二项式定理的方法去解决. 　　例5．(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)100的展开式中x3的系数为______. 　　分析:（法一）展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成.因而系数为 　　 　　（法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式: 　　原式=, 　　要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为. 　　二、有关二项式系数的问题. 　　例6．(2x+xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=____. 　　分析:二项式系数最大的为第5项， 　　 　　解得:x=1或. 　　例7．的展开式中系数最大的项为第_____项.  分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法. 　　设第r+1项的系数最大， 　　则 解得:， 　　∴r=7，且此时上式两个等号都不能取得， 　　因而第8项系数最大. 　　三、赋值法: 　　例8．已知 　　1）求a0, 　　　　　　　　　　　　2）求a1+a2+a3+a4+a5 　　3）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2　　 4）求a1+a3+a5 　　5）|a0|+|a1|+……+|a5| 　　分析:1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解. 　　从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0, 　　∴ (1-0)5=a0, ∴a0=1. 　　2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5　 又a0=1,∴ a1+a2+a3+a4+a5=-2. 　　3）令x=1，得a0+a1+a2+……+a5=-1 (*)　 　　令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (**) 　　因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 　　　　4）联立(*),(**)两方程，解得a1+a3+a5=-122. 　　5） 　　因而 |a0|+|a1|+……+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和， 　　∴ 　|a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)5=35=243. 　　小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解；　② 赋值法也需合情合理的转化. 　　例9．已知, 　　其中b0+b1+b2+……+bn=62, 则n=_________. 　　分析:令x=1，则, 　　由已知， 2n+1-2=62,　 ∴ 2n+1=64, 　　∴ n=5. 　　 例10．求的展开式中有理项系数的和. 　　分析:研究其通项. 　　显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系数和. 　　设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+antn , 　　令t=1，即3n=a0+a1+a2+……+an　 　 　　令t=-1，即1=a0-a1+a2-……+(-1)nan 　　上两式相加，解得奇数项系数和. 　　四、逆用公式 　　例11．求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1 　　解: 　　例12．求值: 　　分析:注意将此式还原成二项展开式的结构 　　原式= 　　 　　五、应用问题 　　例13．求证:32n+2-8n-9能被