二项式定理学案及课后作业答案【DOC精选】.docVIP

第3讲　二项式定理 知 识 梳 理1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(nN*) 二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C，C，…，C 2.二项式系数的性质 (1)0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C. (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn. (3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n， C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 辨 析 感 悟 1．二项式定理的理解 (1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．(×) (2)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．(×) (3)(教材习题改编)在6的二项展开式中，常数项为－160.(√) 2．二项式系数的性质 (4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√) (5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(×) (6)(2013·安徽卷改编)若n的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且x4的系数为7，则实数a＝.(√) [感悟·提升] 1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(nN*)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr＋1＝Can－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项，如(1)． 2．二项式系数与展开式项的系数的异同 一是在Tr＋1＝Can－rbr中，C是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负，如(2)就是混淆两个概念的区别． 二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大，如(6)；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值. 考点一　通项公式及其应用 【例1】 (1)(2013·浙江卷)设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________. (2)(2013·新课标全国卷改编)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于________． 解析　(1)Tr＋1＝C()5－rr＝C(－1)rx－，令－r＝0，得r＝3，A＝－C＝－10. (2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5， 又(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝Cx，T3＝Cx2. 展开式中x2的系数为C＋a·C＝5，a＝－1. 答案　(1)－10　(2)－1 规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 【训练1】 (1)(2013·大纲全国卷改编)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是________． (2)设二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________． 解析　(1)(1＋x)8的通项为Cxk，(1＋y)4的通项为Cyt， (1＋x)8(1＋y)4的通项为CCxkyt，令k＝2，t＝2，得x2y2的系数为CC＝168. (2)6展开式的通项Tr＋1＝(－a)rCx6－r， A＝(－a)2C，B＝(－a)4C， 由B＝4A，得(－a)4C＝4(－a)2C，解之得a＝±2. 又a0，所以a＝2. 答案　(1)168　(2)2 学生用书第161页 考点二　二项式系数的性质与各项系数和 【例2】 (1)(2014·青岛模拟)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是________． (2)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________． 审题路线　(1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公式求解． (2)根据二项式系数性质，由C＝C，确定n的值，求出的系数． 解析　(1)(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 令x＝0，得a0＝1. 令x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，n＝6， 又(1＋x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大， (1＋x)6的展开式系数最大项为T4＝Cx3＝20x3