二项式定理教师【DOC精选】.docVIP

二项式定理 【2013年高考会这样考】 1.二项式定理是高考重点考查内容之一．分值一般为5～9分．考查比较稳定，试题难度起伏不大；题目一般为选择、填空题. 2.高考主要考查二项展开式和通项的应用，具体会涉及到求特定的项或系数，以及二项式系数等问题，是高考的必考点之一。 【复习指导】 二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用． 基础梳理 1．二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的 ． 其中的系数C(r＝0,1，…，n)叫 系数． 式中的Can－rbr叫二项展开式的 ，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Can－rbr. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为 . (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的 和为 _______ (3)字母a按 排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C ，C，一直到C，C . 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系 数 ．即C＝C. (2)增减性与最大值： 二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐 ．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的； 当n是偶数时，中间一项T 二项式系数取得最大值； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。 (3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 双基自测 1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)． A．80 B．40 C．20 D．10 解析　Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr， 当r＝2时，T3＝40x2. 答案　B 2．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　)． A．45 B．55 C．70 D．80 解析　(1＋)5＝1＋5＋10()2＋10()3＋5()4＋()5＝41＋29 由已知条件a＝41，b＝29，则a＋b＝70. 答案　C 3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)． A．9 B．8 C．7 D．6 解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16 ∴a0＋a2＋a4＝8. 答案　B 4．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝(　)． A．6 B．7 C．8 D．9 解析　Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr 由已知条件35C＝36C 即C＝3C ＝3 整理得n＝7 答案　B 5．(2011·安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________. 解析　Tr＋1＝Cx21－r(－1)r＝(－1)rCx21－r 由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C，a11＝C， ∴a10＋a11＝C－C＝0. 答案　0 题型精炼 考向一　二项展开式中的特定项或特定项的系数 【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 解　通项公式为Tr＋1＝Cx(－3)rx－＝(－3)rCx. (1)∵第6项为常数项， ∴r＝5时，有＝0，解得n＝10. (2)令＝2，得r＝(n－6)＝2， ∴x2的项的系数为C(－3)2＝405. (3)由题意知令＝k (k ∈Z)，则10－2r＝3k ，即r＝5－k ，∵r∈Z，∴k 应为偶数，∴k ＝2,0，－2，即r＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2. 方法总结：式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可． 【训练1】 (2011·山东)若展开式的常数项为60，则常数a的值为________．答案：4 考向二　二项式定理中的赋值 【例2】二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和． [审题视点] 此类问题要仔细观察，对二项式中的变量正确赋值． 解　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和为C＋C19＋C＋…＋C＝29. (