二项式定理高考总复习【DOC精选】.docVIP

二项式定理 1．二项式定理： ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数. ③项数：共项，是关于与的齐次多项式 ④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有项。 ②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。 ③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令 令 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，··· ②二项式系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令，则， 从而得到： ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 题型一：求二项展开式 1．“”型的展开式 例1．求的展开式； 解：原式== = = = 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2． “”型的展开式 例2．求的展开式； 分析：解决此题，只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算； 解：原式= 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。 题型二：求二项展开式的特定项 求指定幂的系数或二项式系数 （1）求单一二项式指定幂的系数 例4．（03全国）展开式中的系数是 ； 解：== 令则，从而可以得到的系数为： ，填 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数 例5．（02全国）的展开式中，项的系数是 ； 解：在展开式中，的来源有： 第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为； 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为 的系数应为：填。 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例6．（04安徽改编）的展开式中，常数项是 ； 解： 上述式子展开后常数项只有一项，即 本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决， 考查了变型与转化的数学思想。 求中间项 例7．（00京改编）求（的展开式的中间项； 解：展开式的中间项为 即：。 当为奇数时，的展开式的中间项是和； 当为偶数时，的展开式的中间项是。 求有理项 例8．（00京改编）求的展开式中有理项共有 项； 解： 当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。 求系数最大或最小项 特殊的系数最大或最小问题 例9．（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解： 要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为 一般的系数最大或最小问题 例10．求展开式中系数最大的项； 解：记第项系数为，设第项系数最大，则有 又，那么有 即 解得，系数最大的项为第3项和第4项。 系数绝对值最大的项 例11．在（的展开式中，系数绝对值最大项是 ； 解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理， 故此答案为第4项，和第5项。 题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和 例12．（99全国）若， 则的值为 ； 解： 令，有， 令，有 故原式= = = 例13．（04天津）若， 则 ； 解：， 令，有 令，有 故原式== 在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：特殊值在解题过程中考虑的比较多。 例14．设， 则 ； 分析：解题过程分两步走；第一步确定所给