GIS的数学模型.doc

第八章 地理信息系统的数学模型 利用计算机解决地理信息系统中的各种实际问题时，最重要的工作是建立地理系统的数学模型，并使建立的模型能较好地模拟实际事物的属性和规律。正如一张地形图上，如果漏绘了一些道路，或者标错了某些山顶的高程，将会给部队指挥和行军作战造成严重后果，说明这张地形图(也可称为符号模型)错误地描述了实际事物。对于数学模型来说，除了具有物理模拟的特征外，还需要具有数学方法的抽象模拟，利用数学符号、数学式子、程序等刻画实际事物的客观本质属性及其内在联系规律。本章首先介绍建立数学模型的一般过程，然后介绍常见的数理统计模型、回归分析模型和线性规划模型。  §8.1建立数学模型的一般过程 面对着复杂的现实世界，各种事物都处在不断的变化之中，要用数学方法去描述和模拟某些发展中的现象，不可能采用统一的模式来论述建模问题。但是，可以把建模过程大致划分下列几个步骤： 一、了解建模对象的实际背景，在此基础上提出建模目标 在调查研究过程中，尽可能掌握与建模有关的数据和资料。应当访问建模对象所在领域的专家，认真总结他们在科学研究中的思路和方法以及解决问题的推理判断过程。这些专家的逻辑思维经验是十分可贵的第一手建模材料，甚至有些经验已经构成了物理模拟的框架，这些都是建立数学模型的基础。 二、分解模拟对象 抓住主要问题分解模拟对象，提出可能性较大的几种假设，尽可能使问题简化，减少考虑的因素。这一过程就是数学抽象和思维的过程。建模者应当具备这种抽象、假设能力，同时需要与该领域的专家共同讨论，使假设的现实性增加，避免一些不必要的建模工作的重复过程。 三、数据处理 通过实地调查或测量，采集必要的数据，输入计算机，建立数据库。 四、图形显示，曲线拟合 利用某些绘图软件或采用统计回归分析的方法，调用已知数据，作出曲线图，用已知曲线拟合实际曲线。 五、模型建立 简化实际问题，提出恰当的假设，并利用适当的数学工具，刻划变量之间的关系，建立相应的数学模型，并求得相应的解。 六、模型的验证 将模型运算结果与实际情况相比较，也就是进行误差分析，确定模型的可信程度。如果计算结果与事实不相符合，说明在建模的过程中，可能忽略了某些重要的因素，缺乏关键的数据。这时，必须加强对实际问题的调研，重新开始建模过程。 七、预测和决策 一个成功的地理信息系统的数学模型，不仅能解释系统的已知现象，而且还可以预测系统的某些未知现象，把已知数据代入模型内，预测系统的发展趋势，并为系统的合理利用与开发，提供最优决策。 §8.2 数理统计分析模型 数理统计分析主要用于数据分类和综合评价，数据的分类和评价的问题通常涉及大量的相互关联的地理因素。主成分分析方法可以从统计意义上将各影响要素的信息压缩到若干合成因子上，从而使模型大大地简化。因子权重的确定是建立评价模型的重要步骤，权重正确与否极大地影响评价模型的正确性，而通常的因子权重的确定依赖较多的主观判断。层次分析法是综合众人意见，科学地确定各影响因子权重的简单而有效的数学手段。隶属度反映因子内各类别对评价目标的不同影响，依据不同因子内的变化情况确定，常采用分段线性函数或其它高次函数形式计算。常用的分类和综合的方法包括聚类分析和判别分析两大类。聚类分析可根据地理实体之间影响要素的相似程度，采用某种与权重和隶属度有关的距离指标，将评价区域划分若干类别；判别分析类似于遥感图像处理的分类方法，即根据各要素的权重和隶属度，采用一定的评价标准将各地理实体判归最可能的评价等级或以某个数据值所示的等级序列上。分类定级是评价的最后一步，将模糊聚类的结果根据实际情况进行合并，并确定合并后每一类的评价等级，对于模糊判别分析的结果序列采用等间距或不等间距的标准划分为最后的评价等级。 下面简要介绍分类评价中常用的几种数学方法。 一、主成分分析 在地理问题中，指标越多，问题分析就越复杂，但实际的指标并不一定都是独立无关的，恰恰相反，许多指标之间存在着相当好的相关性。因此，力求用较少的指标来进行分析研究，并要求指标同样能反映原有较多指标的信息。找出较少指标就是要找出少数几个独立无关的变量，这种方法称之为主成分分析。 设有n个样本，p个变量。将原始数据转换成一组新的特征值——主成分，主成分是原变量的线性组合且具有正交特征。即将x1，x2，…，xp综合成m(m＜p)个指标z1，z2，…，zm 。即 z1=l11*x1+l12*x2+ …+l1p*xp z2=l21*x1+l22*x2+ …+l2p*xp (8-2-1)