二项式的基本知识【DOC精选】.docVIP

1、分类计数原理、步计数原理浅释 分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以 分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不能完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏． 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理 可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同． 两个原理的公式是: , 强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比． 2、排列组合 （1）排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 （2）排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示。即＝（） （3）组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 （4）组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示． （5）组合数的性质1：．规定：；2：＝+ 3、排列组合解题方法： 特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法 科学分类法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生 分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分； 插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素， 捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。 排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 隔板法：n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里(n-1个位置)选m-1个结点剪成m段（插入m－1块隔板）有种 错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44 2个、3个、4个元素的错位排列容易计算。关于5个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题： ①5个元素的全排列为：； ②剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号(2个错位的) 种、恰好有2对球盒同号(3个错位的) 种、恰好有1对球盒同号(4个错位的) 种 ∴ 120-1---＝44 用此法可以逐步计算：6个、7个、8个、……元素的错位排列问题 二项式定理： 1．二项式定理：， 2．二项展开式的通项公式： 3．常数求常数的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）． （2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值 （3）各二项式系数和： ∵，令，则