二项式系数的性质导学案【DOC精选】.docVIP

课 题 二项式系数的性质导学案 自主预习案 预习目标：了解“杨辉三角”，认识“杨辉三角”中行、列数字的特点及其组合数的性质、二项式系数之间的联系。 预习内容：阅读P.26-27内容，了解二项式系数表及杨辉三角，探索归纳出二项式系数的性质。 导入新课 （2） 2．二项展开式的通项公式： 新课探究 1二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，如下表所示： …………………… 厖厖厖?……… 厖厖厖 … 厖厖? 厖厖 厖? 厖厖厖厖厖厖 图1 图2 上表叫 表，表中每行两端都是 ，除以外的每一个数都等于 早在1621年，我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中就有类似的表（如上图2），这个表称为 。利用这一性质，可根据相应于的各项二项式系数写出相应于的各项二项式系数。 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。 2．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数 定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）、每一行两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 ，这实际上是由组合数的性质得到的 （2）、对称性．，在二项展开式的每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即： ，这个性质实际上也是由组合数的性质得到的。 直线是图象的对称轴． （3）、增减性与最大值． 二项式系数先增大，到达某一值后又逐渐减小，并且二项式系数最大的项必在 位置上，也就是说，二项式系数先从1开始递增，达到中间位置取最大值，然后又逐渐递减到1. 当是偶数时，展开式共有（n+1）项，所以展开式的中间一项，即 项的二项式系数最大，最大值为 ；当是奇数时，展开式共有（n+1）项，所以展开式的中间两项，即第 项，和第 项的二项式系数相等且最大，最大值为=。 （4）、二项展开式中各项系数的和等于 ，即 在中， 令，则有 探究展示案 一、学习目标：结合杨辉三角掌握二项式系数的概念和性质，并能利用这些性质计算和证明一些与二项式展开有关的简单问题。 二、合作学习 例1：（自主学习）根据“杨辉三角”写出： （1）的二项式系数； （2）展开式中的第3项的系数. 例2：（小组合作）写出的展开式中： （1）通项；（2）二项式系数最大的项；（3）各项的系数绝对值最大的项；(4)各项的系数最大的项；（5）各项的系数最小的项；（6）二项式系数的和；（7）各项的系数的和。 例3：运用二项式定理证明： （1）；（2） （3）结论（1）、（2）分别表示什么意思？ 点评：和是两个重要的结论，大家要熟练掌握。 例4：利用赋值法求证：. 合作提高 1.已知 ，求：（1）； （2）； （３）；（４） 2. 设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中的系数为（ ） A、-150 B、150 C、300 D、-300 3.已知，则等于（　　） A、 　B、 　 C、　　D、 4. 在的展开式中，各项系数的和是　　　　　. 5.已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项 6 证明：能被7整除。 7今天是星期一，则过2102天后是星期几？ 课堂小结 ：1．性质是组合数公式的再现，性质是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和； 2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法。 二、当堂检测 １.若的展开式中各项系数之和为６４，则展开式的常数项为（　　　） A、 　B、 　 C、　　D、 ２.设，则中奇数的个数为（　　　） A、２ B、３ C、４ D、５ ３.展开式中，所有项的系数之和为　　　　　；展开式中的系数为