二项式系数性质练习题答案【DOC精选】.docVIP

例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式中，令，则， 即， ∴， 即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知. 例2．已知，求： （1）； （2）； （3）. 解：（1）当时，，展开式右边为 ∴， 当时，，∴， （2）令， ① 令， ② ①② 得：，∴ . （3）由展开式知：均为负，均为正， ∴由（2）中①+② 得：， ∴ ， ∴ 例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 解： =， ∴原式中实为这分子中的，则所求系数为 第二课时 例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数 解：∵ ∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为， 在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为 ∴展开式中含x的项为 ， ∴此展开式中x的系数为240 例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项 解：依题意 ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10 设第r+1项为常数项，又 令， 此所求常数项为180 例6． 设， 当时，求的值 解：令得： ， ∴， 点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 例7．求证：． 证（法一）倒序相加：设 ① 又∵　　　② ∵，∴， 由①+②得：， ∴，即． （法二）：左边各组合数的通项为 ， ∴ ． 例8．在的展开式中,求: ①二项式系数的和;　 ②各项系数的和;　 ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;　 ④奇数项系数和与偶数项系数和;　 ⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和. 分析:因为二项式系数特指组合数,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关. 解：设(*), 各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为. ②令,各项系数和为. ③奇数项的二项式系数和为, 偶数项的二项式系数和为. ④设, 令,得到…(1), 令,(或,)得…(2) (1)+(2)得, ∴奇数项的系数和为; (1)-(2)得, ∴偶数项的系数和为. ⑤的奇次项系数和为; 的偶次项系数和为. 点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一. 第三课时 例9．已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项. 解：由题意,解得. ①的展开式中第6项的二项式系数最大, 即. ②设第项的系数的绝对值最大, 则 ∴,得,即 ∴,∴,故系数的绝对值最大的是第4项 例10．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 解：令，则展开式中各项系数和为， 又展开式中二项式系数和为， ∴，． （1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴，， （2）设展开式中第项系数最大，则， ∴，∴， 即展开式中第项系数最大，． 例11．已知， 求证：当为偶数时，能被整除 分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式 ∵， ∴，∵为偶数，∴设（）， ∴ （） ， 当=时，显然能被整除， 当时，（）式能被整除， 所以，当为偶数时，能被整除