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专题二 二进制问题
知识要点
用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字表示所有整数的方法被叫做十进制,十进制是最常见的进制,世界上绝大数国家和地区都用这种方法来计数,它的特点是满十进一,退一当十。
除了十进制外,有其它一些进位制,如时间是60进制的,即60秒是一分,60分时1小时。还有三进制、五进制、八进制、十六进制等。它们和十进制计数法的道理实质是一样的。现代计算机上大多用二进制,即满二进一,退一当二,这种进位制只用两个数字0和1,如“1”在二进制中记作1,“2”就要满二进一,记作10,“3”记作11,“4”又一次满二进一,记作100,……。为了区别十进制和二进制,只要在这个数的右下角标上2或10即可。
任何一个十进制正整数N都可以写成各数位上的数字与10的次方数的乘积的和的形式,如9758(10)=9×103+7×102+5×101+8×100(注:100=1)。
任何一个二进制数也像十进制数一样,也可以写成各个数位上的数字与2的次方数的乘积的和的形式,如110101(2)=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20
典例评析
例1 将139(10)化成二进制
【分析】要将十进制数化为二进制数,只要连续除以2.因为139=69×2+1,即有69个“2”及1个“1”,故应向第二位上进“69”,个位则有1个1;而69=34×2+1,即第二位69又要向第三位进“34”,而本位数字为“1”。但34=17×2,即第三位上的34还应向第四位进“17”,且本位数字为“0”;接下去17=8×2+1,即第四位为1;8=4×2,即第五位为0;4=2×2,即第六位为0;2=2×1,即第七位为0,第八位为1;所以139(10)2)。这个过程也可以简算以“短除法”求得。
解 因为
说明 十进制数139(10)的下标10,是为了与其它进位制区别开来,同2)的下标2是表示的二进制,有时十进制的下标可以省略,但其余的进制,则下标不可省。
特别提出的是,在用“短除法”求得数时,要将每次除以2所得的余数写在被除数的后面,一直得到商是1为止。
例2 将101101(2)改成十进制数。
【分析】我们可以思考一下二进制数101101(2)上各个数位上的1是怎么进上来的,从右往左数第6位是1,是从第5位上满2才进上去是,这个数可以看做21101,第5位上是2,是因为第4位上满2个2才进过来的,可以看作5101,同理第4位上5,是因为第3位上满5个2才进过来的,应是(11,01),同理得出(22,1),(22,1)得45。对于一个十进制数,如果是7385,可以写成7385=7×103+3×102+8×101+5×100。同理二进制也可以写成这种形式,只不过要将上述形式中的数字换成2的次方数与0或1的乘积,就没必要像上述改写那样麻烦了。
解 101101(2)=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1
=25+23+22+1
=32+8+4+1
=45
说明 对于任意一个二进制数amam-1am-2…a2a1(2)改写成十进制数,都有如下的方法:amam-1am-2…a2a1(2)=am×2m-1+am-1×2m-2+…a2×21+a1×20。
例3 计算:10110(2)+1010(2)。
【分析】二进制数的加减可以用竖式来计算
解 10110(2)
+ 1010(2)
100000(2)
10110(2)+1010(2)=100000(2)
说明 在将相同数位上的数相加时,与十进制加法有所不同,十进制加法中满十进一,而二进制加法中是满二进一,本题中从右往左第2位开始,便连续出现了4次“满二进一”。
例4 计算1101101(2)-1011110(2),并要求验算。
【分析】二进制的减法也可以用竖式来计算,并且可以用加法来检验结果是否正确。。
解 1101101(2) 1011110(2)
-1011110(2) 验算 + 1111(2)
1111(2) 1101101(2)
说明 在计算二进制数的减法时,与十进制的减法也是有所区别的,十进制减法计算中,本位不够减时,是向前一位借一当十,而在二进制数减法当中,出现不够减时时借一当二。如在本题中,从右往左第2位不够减时向前一位借一当二,得2-1=1,其余数位上则依次类推。为了计算的正确,用减法的逆运算作适当检验。
例5 计算:11101(2)×11(2)
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