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本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 专题10 代数综合题 [考点透视] 中考试题中，代数综合题经久不衰，它常牵涉数与式、方程与不等式、函数与图象、应用与探索等多方面的内容．大家普遍认为它具有“综合性强、难度大、区分度高”等特点，所涉及的知识点多，技巧性强，覆盖面大． 要解决这类问题，除了要具有一定的基础知识、基本技能外，还需要有敏锐的观察力、深刻的理解力、娴熟的运算力以及较强的综合解题能力．“分析探求思路，优化实施解答，反思验证结论”是解代数综合题的基本过程，这些过程往往蕴藏着转化、数形结合、分类讨论和方程等常见的数学思想方法.对考生来说，若攻克了代数综合题，就意味着“水平上了个台阶”． [典型例题]： 例1 已知实数x、y同时满足三个条件：① 3x－2y= 4－p， ② 4x－3y=2+p, ③ x＞y， 那么实数p的取值范围是 （ ） ( A)p＞－1 (B)p＜1 ( C)0＜p＜1 (D)p1 （2002年徐州市中考题） 分析：将p看成常数，由①、②两式解出x、y代入③即可求出p的取值范围. 解：联立①、②方程组 解得代入③得p1. 所以选D. 说明：方程与不等式是中学数学中最重要的基础知识之一，掌握它的解法是数学学习的最基本要求，因此它也是中考的必考内容.该题是一道方程与不等式小综合题，虽然方法常规，但有一定的思维量，解答时容混淆“主元”与“次元”的关系. 例2 已知关于的方程： （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个相异实根； （2）若这个方程的两个实根满足，求的值及相应的． （2002年苏州市中考题） 分析：（1）要证方程总有两个相异实根，需证； （2）解决此问题，必先化去绝对值符号，因此，应从两根之积出发判断根的符号． 解：（1）证明： 无论取什么实数时，总有. 无论取什么实数时，这个方程总有两个相异实根 解： ① . 这时 ②若 则 这时， （另或按分两种情况讨论） 说明：此题是中考常见题型，它既考查了一元二次方程根的判别式、根与系数关系以及解方程等基础知识的应用，又考查分类讨论、转化等数学思想方法，同时还有配方法的融合． 例3 如图所示，已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，的面积为． （１）求和的值； （２）若一次函数的图象经过点， 并且与轴相交于点，求； （３）如果以为一边的正三角形 的顶点在二次函数 的图象上，求的值．（2000年江苏省盐城市中考题） 分析：由的面积与点A的横坐标可求得点A的纵坐标b. 函数的图象经过点A，说明点A的坐标是方程的解，这样就可求出k… 解：（1） （2） 一次函数解析式为 点M的坐标为. 又， , 由（2）得，, . 又点的位置有两种情况： 点在第一象限，此时点坐标为，由点在二次函数的图象上，得 点在第三象限，点坐标为，由点在二次函数的图象上，得 综上所述，或． 说明：本题是一次函数、反比例函数、二次函数的综合题，旨在考查函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法.难度不大，但它涉及到的知识点较多.易上手，但得满分难.当点在第三象限时，一定要注意坐标的符号． 例４ 已知抛物线与轴交于两点 （１）求的取值范围，并证明两点都在原点的左侧； （２）若抛物线与轴交于点，且，求的值． （2003年江苏省苏州市中考题） 分析：二次函数图象与轴有两个不同的交点时，根的判别式大于零，从而可确定的取值范围. 解：（1）抛物线与轴交于两点，且， 的取值范围是 又必同号， 而 必同为负数 ∴点都在原点左侧 （2）同为负数， 由得 说明：本题综合了二次函数、韦达定理、一元二次方程根的判别式等相关知识，解题时应抓住二次函数与一元二次方程之间的联系．思考时可借助图象帮助理解，特别要注意的是两点均在原点左侧，故，这里容易被忽略． 例5 （1）已知：关于的方程组， 求 （2）在（1）的条件下，若抛物线 ，确定此抛物线及直线的解析式； （3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法．（2002年北京市西城区中考题）