《利用向量法求空间角》教案.doc

§3.2.3立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求空间角 教学目标 1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求解二面角的向量方法 教学难点 二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系 教学过程 一、复习引入 1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） 2．向量的有关知识： （1）两向量数量积的定义： abO（2）两向量夹角公式： a b O （3）平面的法向量：与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析 知识点1：面直线所成的角（范围：） （1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a′与b′，那么直线a′与b′ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a、b的方向向量分别为和， 问题1： 当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成 的角与 和 的夹角的关系？ 问题 2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b 所成的角 与 和的夹角的关系？ 结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为 思考：在正方体中，若与分别为、 的四等分点，求异面直线与的夹角余弦值？ （1）方法总结：①几何法；②向量法 （2）与相等吗？ （3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？ ABCA1B1C1xyZD例1如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为 A B C A1 B1 C1 x y Z D 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。 解：如图建立空间直角坐标系，则 ， 即 和所成的角为 练习1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。 解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，并设OA=1, 则A(1,0,0) ，B(0,1,0) ，F1( ,0,1) ，D1( , ,1) 所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为 知识点2、直线与平面所成的角（范围：） （图1）思考：设平面的法向量为，则与的关系？ （图1） （图2） （图2） 据图分析可得：结论： 例2、如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量 3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角 解：如图建立空间直角坐标系，则 ABCA1B1C A B C A1 B1 C1 x y Z D 由 取， 和所成角的正弦值. 练习：正方体的棱长为1，点、分别为、的中点.求直线与平面所成的角的正弦值. 知识点3：二面角（范围：） DCBAl①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中. D C B A l 结论： 例3 、 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为c , AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 解：如图 根据向量的加法法则, 于是，得 设向量与 的夹角为，就是库与水坝所成的二面角. 因此 所以 库底与水坝所成二面角的余弦值是 ②法向量法 ll l l 结论： 或 归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 例4、如图，是一直角梯形，，面，，，求面与面所成二面角的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系，则 易知面的法向量为 设面的法向量为，则有 ，取，得， 又方向朝面内，方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角 即所求二面角的余弦值为. 练习：正方体的棱长为1，点、分别为、的中点.求二面角的余弦值。 解：由题意知，，则 设平面的法向量为，则 ，取，得 又平面的法向量为 观察图形知，二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值