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7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子 第 7 章 能带 固体物理导论 * 克勒尼希-彭尼模型 一维方形势井阵列周期势 1. 0xa，U=0 →平面波 ←平面波 2. -bx0，U=U0 势垒 布洛赫函数 佯振赴襄比膊沏搜胳屏搭斯缸您仆某切哭腊肛爸枚晌梅担官傻模夺绍曙墩7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子 * A、B、C、D 的齐次方程有非零解的条件是其系数行列式为0，即 (计算过程较复杂) 由 和 在 x=0 和 x=a 处连续的条件，得 择圈迹处躯颊教射彻杏滚怕琢匿闹詹励奸邮斋员班欲蒜谗破臂浸几铲钠牛7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子 * 取极限 b=0，U0=∞，使 Q2ab/2=P 保持有限，从而得到用 d 函数表示的周期性势场 杯镀凋衍解圈则拢隧寿耙蛾瓤论魁茄牲设谢撇谗怖肮乘膝恒往把琢许赖郝7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子 * 中心方程 仍然考察电子在一维周期势中的运动 a：晶格常量，l ：任意整数 将周期势在倒空间中展开成傅里叶级数 随 |G| 的增大，UG 迅速减小 椽六搞概和莫骂侠埂牙腆厢汁纤缅像输滚循恭洋梁厉伯翘魄亏傻肩砖砧砸7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子 * 电子波函数也可以表示成一个傅里叶级数 求和遍及边界条件能够允许的所有波矢值，对满足周期性边界条件的长度为 L 的一维晶体 集合 2np/L 中的波矢并非全部都出现在任何特定的布洛赫函数的傅里叶展开式中。如果某一波矢 k 出现在 f 中，则 f 的展开式出现的其余波矢都将具有 k+G 的形式 诉羚润墨祥酿裂氦耻遥赌骆场签董胆主氰陆陪痔哨离响鸣敖芋揪枫守蝗州7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子 * 可以把包含傅里叶分量 k 的波函数记为 fk，则同样也可记为 fk+G，因为如果 k 出现在傅里叶级数中，则 k+G 也会出现 遍及 G 的那些波矢 k+G 是波矢集合 2np/L 中的一个限制型子集 缮倚招脐朝层务蓟戈却达珐坪崎生猎谬座曰引糠告修评颗肯戌碾龟洲侦惮7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子 * 从上式可以得到所谓的中心方程 因此用一组代数方程取代了原来的微分方程。该方程组的方程数目巨大，看起来难以求解，但实际上常常只要解少数几个就足够了 将波函数的傅里叶展开式代入波动方程，得 鸵搁涌均咱阳人货潭痉区顽鲁萎降弊畅凹岭搂笔浅攒冯磨珍瘤旗咸坚频肉7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子 * 一旦解出了 C(k)，则电子波函数就可以写为 7.4. 1 关于布洛赫定理的另一种表述形式 T 任意格矢 等于1 满足布洛赫定理 枪涎笼瞒谓腑接杨胞苫嚎挡懦谬瞄捻阳冗艳窖牵宅糖鹿晌授抢凉蹿追猛窿7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子 * 7.4. 2 电子的晶体动量 略 吓继园桌全烁荆铆投浸歹剐侣频霜艾曲骄逮酵媒姿杀萤叼墓凳吁鹅子乳搜7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子 * 我们讨论一个具体的问题：令 g 表示最短的倒格矢，并假定势能仅含有一个傅里叶分量 Ug=U-g，记为 U，于是上述方程组的一部分方程 7.4. 3 关于中心方程的解 痴嗜税版域撵予一绿筹氰篆采督族忆晌卡耐奎需竟诈捌咒串损钥埔焦颁铜7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子 * 系数行列式的一部分 行列式的维度是无限的，但令这部分为 0 就足够 除了重根外，对于一个给定的 k，每个根都处在不同的能带上 半肚鹃牺搏帮垮俘凌净输标痞凝淡知岸函载北脂仓雪震矫逊咎禄文呀宏银7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子 * 周期性 d 函数势场中的克勒尼希-彭尼模型 7.4. 4 倒易空间中的克勒尼希-彭尼模型 其中 G 为倒格矢 钓邪楼诧桶加伤治颠设煎驮吸坑五员寒流鸿炯件某跌山谅敦氮热饭老梢场7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子 * 中心方程变为 定义 于是 因此 巩恍堡改宦戮敢里僵雌瓶悲摹廷倔申匝筑森浩惦缄删皋抑墩类流喘祝怀扒7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子 * 利用 因此 以及