矩阵的广义逆.ppt

矩阵的广义逆 The Pseudoinverse 矩阵的广义逆 概述： 矩阵的逆：A n ?n ，?B n ?n ，B A= A B =I, 则B=A –1 广义逆的目标：逆的推广 对一般的矩阵 A m ?n可建立部分逆的性质。 当矩阵A n ?n可逆时，广义逆与逆相一致。 可以用广义逆作求解方程组AX=b的理论分析。 § 4. 1 矩阵的左逆与右逆 一、满秩矩阵和单侧逆 1、左逆和右逆的定义 定义4. 1 (P . 93) A ?C m ?n，? B ?C n ?m，BA=In，则称矩阵B 为矩阵A 的左逆，记为 B = 。 2、左逆和右逆存在的条件 的存在性 矩阵右逆的存在性 定理4 . 2 (P . 94)A ?C m ?n ，则下列条件等价： 矩阵A右可逆。 A的列空间R（A）=Cm n ? m ，秩（A）=m，A是行满秩的。 矩阵A AH 可逆 =AH（AAH）–1 二、单侧逆和求解线性方程组AX=b 讨论 AX=b 有解与左、右逆存在的关系。 借助于左、右逆求AX=b的形如X=Bb的解。 1、右可逆矩阵 定理4 ? 4 (P . 95) A ?C m ?n右可逆，则?b?Cm，AX=b有解。 X= b 是方程组AX=b的解。 二、单侧逆和求解线性方程组AX=b 2、左可逆矩阵 求解分析： 定理4? 3 (P . 94)设矩阵A ?C m ?n左可逆，B是矩阵A的任何一个左逆，则 AX=b有形如X=Bb的解的充要条件是 ( Im–AB )b=0 (¤) 当(¤)式成立时，方程组的解是惟一的，而且惟一解是X=（AHA）–1AH b 证明： § 4. 2 广义逆矩阵 思想：用公理来定义广义逆。 一、减号广义逆 定义4 . 2 (P . 95) A ?C m ?n ，如果，?G ?C n ?m使得，AGA=A，则矩阵G为的A减号广义逆。或{1}逆。A的减号逆集合A{1}={A1–1，A2–1， ?， Ak–1} 例题1 A ?C n?n可逆，则A–1 ?A{1}； A单侧可逆，则A –1L?A{1}；A–1R?A{1}。 减号逆的求法：定理4.5（P . 95） 减号逆的性质：定理4.6 (P . 96) 二、Moore-Penrose（M-P）广义逆 由Moore 1920年提出，1955年由Penrose发展。 1、 定义4.3 (P . 98)设矩阵A ?C m ?n ，如果 ? G?C n ?m ，使得 AGA=A GAG=G （AG）H = AG （GA）H =GA 则称G为A的M-P广义逆，记为G=A+。 3、M-P广义逆的存在性及其求法 定理4.8（P . 99）任何矩阵都有M-P广义逆。 求法： 设A满秩分解A=BC， 则A + =CH （CCH ）–1（BH B）–1BH 。 （定理4.9）设A奇异值分解 ： 例题1 求下列特殊矩阵的广义逆； 零矩阵0； 1阶矩阵( 数) a； 对角矩阵? 4、M-P广义逆的性质 定理4.12 (P . 100) ：则A满足下列性质： （ A + ）+=A （A + ） H =（A H ）+ （?A）= ?+A+ A列满秩，则A+=（ A H A ） –1A H ，A行满秩，则A+=AH （AAH） –1。 A有满秩分解：A=BC，则A+=C+B+。 § 4. 3 投影变换（为讨论A + 的应用做准备） 问题：逆在什么情形下是有用的？ 一、投影变换和投影矩阵 定义4.4（P . 101）设Cn=L? M ，向量x ? Cn, x=y+z， y? L， z ? M， 如果线性变换 ?： C n?Cn ， ?（x）=y， 则称?为从 Cn 沿子空间M到子空间L的投影变换。 二、正交投影和正交投影矩阵 正交投影的定义： 定义4.5 （P . 103） 设 ?：C n?Cn 是投影变换， C n =R（?） ? N（?），如果 R ? （?） =N（?），则称为正交投影。 3、正交投影的性质 定理4.16（P . 104）设W是C n的子空间，x0?C n，x 0? W，如果?是空间C n向空间W的正交投影，则 4、A + A与AA +的性质 定理4.15（P . 104） A + A的性质： （A + A）2 = A + A，（A + A）H = A +