“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题及参考答案.doc

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若，则的值为（ ）． （A） （B） （C） （D） 2．若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）． （A）a≤ （B）a≥4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4 3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（ ）． （A） （B）（C） （D） 4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ ）． （A）（2010，2） （B）（2010，） （C）（2012，） （D）（0，2） 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ． 7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ． 9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则 ． 10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： ． 12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）. (1)求实数a，b，k的值； (2)过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.13．求满足的所有素数p和正整数m.14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？ “《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛选择题 答案：C 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式 ≥0,解得a≤或 a≥4． 答案：D 如图，过点A，D分别作AEDF垂直于直线BC，垂足分别为EF． 由已知可得 BE=AE=，CF＝，DF＝2，EF＝4＋．根据勾股定理得 AD＝．由和可得 ，，，，，，，，2010=4×502+2，=2． ，的坐标为（2，）． ，其中．根据对称关系可求得，，，． 令，可求得的坐标为（），即（）由于2010=4502+2，点的坐标为（2010，）．填空题0 由已知得 (a＋1)2＝5，a2＋2a＝4，2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．15 设货车与客车、小轿车的距离均为S，小轿车货车客车的速度分别为，并设货车经x分钟追上客车，由题意得 ① ， ② ． ③ 由①②，得所以x=30． 故 （分）． 如图，延长BC交x轴于点F；连CE，DF，且相交于点N．把矩形ABFO分成面积相等的两部分．点中．，即为所求直线．设的函数表达式为， 解得 ,故所