偏微分方程资料【DOC精选】.doc

1 Fourier变换 定义若，则称为的Fourier变换，记作。 相反，如果，则称为的傅里叶逆变换，记为． 对于维函数，定义 为的Fourier变换；其逆变换公式为： ． 的Fourier变换。 解 由Fourier的定义得 例2：求解波动方程的初值问题 解： 方法一：用Fourier变换法来求解。 对方程以及初始条件关于变量x取Fourier变换得， 解之得： 取Fourier逆变换得到： 方法二：运用叠加原理及行波法来求解。 根据线形片未分方程的叠加原理，方程可以分解成下面的两个问题的求解： 那么原方程的解可以写成： 对于方程（1），依据齐次化原理，方程的求解可以转化成下面问题的求解： 并且 根据行波法，可以求得上述方程的解为： 则 对于方程（2），直接根据行波法可以求得： 那么原方程的解为： 2分离变量法 2．1分离变量法的物理背景以及基本思想 分离变量法又称为Fourier方法，而在讨论波动方程时也称为驻波法。此方法源于物理事件中的如下事实：机械振动或电磁振动总可以分解为具有某种频率和振幅的简谐振动的叠加。而每一个简谐振动具有形式：，这正是物理上的驻波。从数学的角度看，驻波就是知含变量和只含变量的函数的乘积，即具有分离变量的形式。由此启发我们在求解线性定解问题的时候，可尝试先求出满足齐次方程和齐次边界条件的具有变量分离形式的解 然后将它们叠加起来，记为： 然后再利用初始条件确定各项中的任意常数，使其成为问题的解。 2．2使用分离变量法解题得五个步骤： (1)分离变量：将分离变量的形式代入方程以及边界条件中。 (2)解常微分方程 (3)决定解的结构 (4)利用叠加原理得到级数形式的解 (5)利用初始条件和尚未利用的边界条件来确定叠加系数。 例1：试用分离变量法来求解下面定解问题 解：①分离变量法：令 代入上述方程中，方程变为 令 则加上边值条件有，原方程即化成下面的形式： ②解方程，对参数进行分类讨论如下： (1)当时，方程(2)的解为： 其中，由条件(4)确定，又因为 则有： 得到 故： 即： 显然零解是没有意义的，故舍去的情形。 (2)当时，方程(2)的通解为， 而 由初始条件知 所以 (3)当时，方程(2)的通解为 而 由初始条件(4)得到 ， 而必不为零，否则 所以，即 从而 相应的 ③确定解的结构: 当时，方程(1)即为 解得 当时，将带入(1)中得到 其通解为： 于是得到满足方程以及初始条件的特解 ④叠加过程：定解问题的级数形式解为 ⑤确定叠加系数，将的表达式带入初始条件中，得 利用Fourier余弦展开，系数得到 用分离变量法同样得步骤可以求得下面两个常用问 题的解为： 和 例2：就下列初始条件及边界条件，解弦的振动方程。 解：是下列定解问题的解 该定解问题的级数形式解为 由初始条件来确定系数，，由于 故 所以，方程的解为 2．3 非齐次问题的齐次化 边界条件必须是齐次化的才能构成固有值问题，这是分离变量法的关键，对于非齐次边界条件的处理，主要思想是把非齐次的边界条件化成齐次的边界条件。 一般的做法是先选取一个适当的已知函数，令 使得对于新的未知函数来说，边界条件是齐次的。 特别的，对于含有非齐次边界条件的非齐次方程，如果边界条件是常数，方程中的自由项只是的函数，则可以通过未知函数的代换同时将边界条件和方程都化成齐次的，这时只需要选取一个只是的函数，令 使得对于新的未知函数，边界条件和方程都是齐次的，于是可以用分离变量法求解。 例1 解出具有放射衰变的热传导方程 已知边界条件为 初始条件为（常数）。 解：题述定解问题为 令其中，则上面的定解问题化成 解上述方程，采用叠加原理，上述问题可表示为 其中和分别是下面两个方程的解 和 其中(2)的解可以直接得到 其中 对于问题(3)我们采用齐次化原理，我们先求解 得到 其中 故(3)的解为 则原方程的解为： 例2 试将定解问题 的非齐次边界条件化为齐次边界条件。 解：令，这里的边界条件为第三类非齐次边界条件，一般假设 其中都是待定的常数，而 为了使得关于的定解问题的边界条件齐次化，必须满足 即 比较对应的系数得: 解以上两系数方程得： 通过简单计算得到 这样就得到下面关于的齐次边界定解问题。 通过上面的结果可以看出，得到的关于的方程并不是一个齐次问题。 2．4半无界弦的初值问题的延拓法 例1：讨