傅立叶变换与拉普拉斯变换【DOC精选】.doc

附录A傅里叶变换 1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS 狄立赫雷条件：在同一个周期内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积。 傅里叶级数：正交函数线性组合。 正交函数集可以是三角函数集或复指数函数集，函数周期为T1，角频率为。 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。 傅里叶级数： 系数和统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。 称为信号的基波、基频；为信号的n次谐波。 根据欧拉公式： 复指数形式的傅里叶级数： 周期信号的傅里叶频谱： (i) 称为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS谱。 (ii)称为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。 (iii)称为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。 (iv)周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率(或频率)上有值。 (v)FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为。 (vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位 2 非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT) 信号f (t)的傅里叶变换： 是信号的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱(函数)。 频谱密度函数的逆傅里叶变换为： 称为FT的变换核函数，为IFT的变换核函数。 FT与IFT具有唯一性。如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。 FT具有可逆性。如果，则必有；反之亦然。 信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成 称为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性； 称为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。 (7) FT频谱可分解为实部和虚部： (8) FT存在的充分条件：时域信号绝对可积，即。 注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT。 FT及IFT在赫兹域的定义： ； 比较FS和FT： FS FT 分析对象 周期信号 非周期信号 频率定义域 离散频率，谐波频率处 连续频率，整个频率轴 函数值意义 频率分量的数值 频率分量的密度值 3 典型非周期信号的FT频谱 单边指数信号： 图1 (a)单边指数信号 (b)幅度谱 (c)相位谱 (2) 偶双边指数信号： 图2 (a)偶双边指数信号 (b)频谱 (3) 矩形脉冲信号 图3 (a)矩形脉冲信号 (b)频谱 (4) 符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT。 图5 (a)符号函数 (b)频谱 (5) 阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在FT 图6 单位阶跃函数及其幅度谱 附录B 拉普拉斯变换及反变换 一．拉普拉斯变换及逆变换 定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 其中，S=σ+jω 是复参变量，称为复频率。 左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换； 右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。 以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。 如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。 拉普拉斯反变换： 这是复变函数的积分 拉氏变换和拉氏反变换可简记如下 F(S)=L[f(t)] ； f(t)=L-1[F(s)] 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 叠加性 2 微分定理 一般形式 初始条件为零时 3 积分定理 一般形式 初始条件为零时 4 延迟定理（或称域平移定理） 5 衰减定理（或称域平移定理） 6 终值定理 7 初值定理 8 卷积定理 常用函数的拉氏变换和z变换表 序号 拉氏变换 时间函数 Z变换 1 1 δ(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二．拉普拉斯反变换的应用 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设是的有理真分式，即 （） 式中，系数和都是实常数；是正整数。按代数定理可将展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）无重根：这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式，即 （F-1