看似无圆实则有圆化隐为显意境高远.docVIP

看似无圆，实则有圆，化隐为显，意境高远 圆是高中数学的主干知识之一，也是高考必考的知识点之一.因此，在考察形式上注定要推陈出新.有关圆的试题的呈现方式有时常表现为“隐”性：条件若明若暗、隐而不含、含而不露.对于题目中显然存在的圆，求解时大多没有困难，而对于题目中隐性存在的圆，如果不能充分挖掘题中的信息，将圆化“隐”为“显”，则计算往往会非常繁冗，以致困难.下面笔者主要结合2013年全国高考试题，谈谈如何将圆化“隐”为“显”，以及圆变“显”后给予解题的简捷. 1.借助伸缩变换，化椭圆为圆 例1 （2013年山东卷文科最后一题）在平面直角坐标系中,已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,短轴长为2,离心率为. ①求椭圆的方程； ②为椭圆上满足的面积为的任意两点,为线段的中点,射线交椭圆与点,设,求实数的值. 解 ①（求解过程略）；②利用伸缩变换，把图1变换成图2，方程变换成，则有，.因为，所以，又，所以，易得或.若，则,结合有，从而.同理时有.综上的值为或. 评注 本题充分体现了等价转化的数学思想，借助伸缩变换把“隐”在椭圆中的圆充分挖掘出来，将椭圆转化为圆来处理，此法的运算量小，参考答案更与之无法比拟.原因是：圆相对于椭圆而言，圆具有许多特有的性质，解决问题相对椭圆而言显然要简单的多，运算量当然也减少了.但问题是变换前后图形中的一些直线的位置关系与线段数量关系是否发生变化呢？对于椭圆方程，通过进行伸缩变换，椭圆变换为圆，实施这样的变换后，若为坐标系中的点，为变化后坐标系中的点.则有如下结论（证明过程略）： ①变换后封闭图形的面积是变换前封闭图形面积的倍，例如； ②若分线段的比为，则分线段的比为；特殊地，若为中点，则为中点； ③若三点共线，则三点共线；若∥，则∥； ④若直线的斜率为，则直线的斜率为； ⑤若为椭圆的弦（不过点），为中点，则有，变换后为圆的弦（不过点），为中点且有；若为椭圆的弦（过点），为椭圆上不同于的点，则有，变换后为圆的直径，为圆上不同于的点且有； ⑥若的斜率为，线段的长度为，则线段. 利用上述结论可以方便的求解2013年全国卷（大纲）理科第8题、2013年北京卷理科第19题、2013年安徽卷理科第18题，2013年江西卷理科第20题、2012年湖北卷理科第21题、2012年浙江卷理科第21题、2011年江苏卷第18题、2011年山东卷理科第22题.但需要注意的是：椭圆化圆只是一种方法，但毕竟不是万能的，仅仅是对一些特定的题目可以达到简化运算的目的.因此，在具体解决椭圆问题时要灵活挖掘“隐性”存在的圆.椭圆化圆只是让我们多了一种选择，当然也就多了一条取胜之路. 2.借助圆中角度的性质进行转化 例2 (2013年安徽卷理科第13题)已知直线交抛物线于、两点.若该抛物线上存在点，使得为直角，则取值范围为 . 解 设直线交轴于点，若要上存在点，使得为直角，只要以为直径的圆与有交点即可（、除外），也就是使，即，解得或.因为，所以. 评注 本题联想到“直径所对的圆周角为直角”这一性质，通过构造圆使得问题加以解决.在圆锥曲线、平面向量中涉及垂直的问题屡见不鲜，有些题目假若从圆这个角度加以思考，一定会带来意想不到的效果. 例3 （2011年大纲全国卷理科第12题）设向量满足，若，与的夹角为，则的最大值等于 . 解 如图3，构造，，，则，.因为，所以与的夹角为，又因为与的夹角为，所以,所以四点共圆.于是当为直径时最大，最大值为2. 评注 本题联想到“内对角互补，四点共圆”这一性质，直接构造圆并结合圆的性质加以解决.当然，也可将本题结论推广：若向量满足，且与的夹角为，与的夹角为，则的最大值等于. 3.借助圆的定义进行转化 例4 （2013年重庆卷理科第10题）在平面上，，，.若，则的取值范围是 . 解 如图4，点、在以为圆心，半径为1的圆上，点在以为圆心，半径为的圆的内部.当点在圆上时，考虑的情况.由可知，四边形是正方形.设，在中，由余弦定理得，即，所以，此时.当点向原点靠近时，此时的；当与原点重合时，.综上可知的取值范围是. 评注 由，联想到“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆”，可定出的位置.通过构造圆，并发挥了向量“数、形一体”的优势.直观化解答，是解答向量客观题的常用方法. 例5 （2013年江苏卷第15题）已知，，．①若，求证：；②设，若，求的值. 解 ①令，，则两点在以为圆心，半径为1的圆上，则.在中，因为,,所以,即；②如图5，令，则.因为，所以四边形为菱形，且，又，所以，. 评注 本题求解巧妙之处在于构造了单位圆，除了参考答案以外，这应该是高考命题专家最愿意看到的解法.事实上，三角函数（参数方程）是圆“隐性”存在的主要载体之一. 例6