全国大学生数学专业及高等数学竞赛试题及解答【DOC精选】.doc

2010年全国大学生数学专业竞赛试题及解答 （1）计算积分 解　方法一　　 直接利用分部积分法得 　　　　　 　　 　　　　；　 方法二 不妨设，由于，　　 而积分关于在上一致收敛，故可交换积分次序　　　 ；　　 方法三 将固定，记， 可证在上收敛． 设　　因为，而收敛， 所以由Weierstrass判别法知道　对一致收敛．所以可以交换微分运算和积分运算的次序，　即 ．　　 由的任意性，上式在上成立． 所以　，由于　所以， 即．　　　　　 若关于的方程，在区间内有唯一的实数解，求常数. 解：设，则有， 当时，；当时，. 由此在处达到最小值， 又在内有唯一的零点， 必有，， ，， 所以. 设函数在区间上连续，由积分中值公式，有，，若导数存在且非零， 求. 解：， ， 由条件，可知 ， ， 故有. 二、设函数在附近可微，，, 定义数列. 证明：有极限并求其值. 证明：由导数的定义， 对于任意,存在，当时，有. 于是， 从而，当时，有， ，其中. 对于上式求和，得到 ， 即， 令，有 , 由的任意性，得到 . 设在上有定义，在处可导，且. 证明：. 三、设函数在上一致连续，且对任何，有， 证明： 。 试举例说明，仅有在上的连续性推不出上述结论。 证明 证法一 由在上一致连续，对， ， 当 且时， 便有； 取定充分大的正整数，使得。现把区间等分，设其分点为，每个小区间的长度小于。 对于任意，； 从而必有，使得； 由条件对每个，有； 于是存在，当时，，对都成立； 故当时，便有 ， 即得，结论得证。 证法二 设,由题设条件知 在上等度一致连续,对每一,有; 利用Osgood定理得, 在上一致收敛于0, 对,存在，当时, 有,, 从而当时,有, 即得，结论得证。 设在上的连续，且对任何， 有，但推不出。 例如函数 满足在上的连续，且对任何，有， 但不成立 。 四、设，在内连续，在内连续有界，且满足条件： 当时，； 在中与有二阶偏导数， ，. 证明：在内处处成立. 证明：设， 则有 . 于是 ， ， ; 由已知条件，存在，当时， 有 ， . 记， 设 ，我们断言，必有， 假若，则必有，使得 ； 易知， . 这与矛盾， 所以 从而 ，； 由的任意性，得 ， . 故在内处处成立. 五、 设. 考虑积分，，定义， 证明 ； 利用变量替换：，计算积分的值，并由此推出. 证明：（1）由，在上一致收敛，可以进行逐项积分 ， 又， 所以 关于是一致收敛的，可以逐项求极限， 于是有 . 故有 ； , , 注意到区域关于轴对称 ; ; ; 或者利用分部积分,得 , 于是, 故. 2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答 一、计算题 求极限 解法1 直接化为黎曼和的形式有困难. 注意到 , , 由于 ， 所以 . 解法2 利用，得 ， , 由于， ， 所以 . （2）计算， 其中为下半球的上侧，. 解法一. 先以代入被积函数， ， 补一块有向平面，其法向量与轴正向相反， 利用高斯公式，从而得到 ， 其中为围成的空间区域，为上的平面区域， 于是 . 解法二. 直接分块积分 ， 其中为平面上的半圆，. 利用极坐标，得 ， ， 其中为平面上的圆域，， 用极坐标，得 ， 因此. （3）现要设计一个容积为的圆柱体的容积，已知上下两低的材料费为单位面积元，而侧面的材料费为单位面积元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底面的直径之比为何值时，所需费用最少？ 解：设圆柱体的高为，底面直径为，费用为， 根据题意，可知， ， 当且仅当时，等号成立， ， 故当时，所需要的费用最少. （4）已知在内满足求. 解： ， ， 所以，. 求下列极限. （1）； （2），其中，，. 解：（1） . ， ， 故. 一般地，有，其中，， . 设在点附近有定义，且在点可导，，， 求. 解：