全国数学联赛金牌教练 高中奥数辅导：第十讲 二项式定理与多项式【DOC精选】.doc

全国高中数学联赛 金牌教练员讲座 兰州一中数学组 第十讲 二项式定理与多项式 知识、方法、技能 Ⅰ．二项式定理 1．二项工定理 2．二项展开式的通项 它是展开式的第r+1项. 3．二项式系数 4．二项式系数的性质 （1） （2） （3）若n是偶数，有，即中间一项的二项式系数最大. 若n是奇数，有，即中项二项的二项式系数相等且最大. （4） （5） （6） （7） （8） 以上组合恒等式（是指组合数满足的恒等式）是证明一些较复杂的组合恒等式的基 本工具.（7）和（8）的证明将在后面给出. 5．证明组合恒等式的方法常用的有 （1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明. （2）利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中. （3）利用数学归纳法. （4）构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法. 赛题精讲 例1：求的展开式中的常数项. 【解】由二项式定理得 ① 其中第项为 ② 在的展开式中，设第k+1项为常数项，记为 则 ③ 由③得r－2k=0，即r=2k，r为偶数，再根据①、②知所求常数项为 【评述】求某一项时用二项展开式的通项. 例2：求的展开式里x5的系数. 【解】因为 所以的展开式里x5的系数为 【评述】本题也可将化为用例1的作法可求得. 例3：已知数列满足 求证：对于任何自然数n， 是x的一次多项式或零次多项式. （1986年全国高中数学联赛试题） 【思路分析】由是等差数列，则从而可将表示成的表达式，再化简即可. 【解】因为 所以数列为等差数列，设其公差为d 有 从而 由二项定理，知 又因为 从而 所以 当的一次多项式，当零次多项式. 例4：已知a，b均为正整数，且求证：对一切，An均为整数. 【思路分析】由联想到复数棣莫佛定理，复数需要，然后分析An与复数的关系. 【证明】因为 显然的虚部，由于 所以从而的虚部. 因为a、b为整数，根据二项式定理，的虚部当然也为整数，所以对一切，An为整数. 【评述】把An为与复数联系在一起是本题的关键. 例5：已知为整数，P为素数，求证： 【证明】 由于为整数，可从分子中约去r！，又因为P为素数，且，所以分子中的P不会红去，因此有所以 【评述】将展开就与有联系，只要证明其余的数能被P整除是本题的关键. 例6：若，求证： 【思路分析】由已知 猜想，因此需要求出，即只需要证明为正整数即可. 【证明】首先证明，对固定为r，满足条件的是惟一的.否则，设 则矛盾.所以满足条件的m和是惟一的. 下面求. 因为 又因为 所以 故 【评述】猜想进行运算是关键. 例7：数列中，，求的末位数字是多少？ 【思路分析】利用n取1，2，3，…猜想的末位数字. 【解】当n=1时，a1=3， ，因此的末位数字都是7，猜想， 现假设n=k时， 当n=k+1时， 从而 于是 故的末位数字是7. 【评述】猜想是关键. 例8：求N=1988－1的所有形如为自然数）的因子d之和. 【思路分析】寻求N中含2和3的最高幂次数，为此将19变为20－1和18+1，然后用二项式定理展开. 【解】因为N=1988－1=(20－1)88－1=(1－4×5)88－1 =－ 其中M是整数. 上式表明，N的素因数中2的最高次幂是5. 又因为N=(1+2×9)88－1 =32×2×88+34·P=32×（2×88+9P）其中P为整数. 上式表明，N的素因数中3的最高次幂是2. 综上所述，可知，其中Q是正整数，不含因数2和3. 因此，N中所有形如的因数的和为(2+22+23+24+25)(3+32)=744. 例9：设，求数x的个位数字. 【思路分析】直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令 ，由二项式定理知，对任意正整数n. 为整数，且个位数字为零. 因此，x+y是个位数字为零的整数.再对y估值， 因为， 且， 所以 故x的个位数字为9. 【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题. 例10：已知试问：在数列中是否有无穷多个能被15整除的项？证明你的结论. 【思路分析】先求出，再将表示成与15有关的表达式，便知是否有无穷多项能被15整除. 【证明】在数列中有无穷多个能被15整除的项，下面证明之. 数列的特征方程为它的两个根为， 所以 （n=0，1，2，…） 由 则 取，由二项式定理得 由上式知当15|k，即30|n时，15|an，因此数列中有无穷多个能被15整除的项. 【评述】在二项式定理中，经