八级数学 第十一章 第节 角平分线的性质 人教新课标版【DOC精选】.doc

初二数学第十一章 第3节 角平分线的性质人教新课标版 一、学习目标： 1. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线； 2. 掌握角平分线的性质和判定； 3. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。 二、重点、难点： 重点：难点：为直线上一点，过作直线，使于。 思路分析： 由于AB是直线，要求作，实际上就是要作平角的平分线。根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM。 解答过程： 作法： 1、以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA、CB分别交于点D、E； 2、分别以D、E为圆心，大于的长为半径画弧，使两弧交于点M； 3、作直线CM。 所以，直线CM即为所求。 解题后的思考： 此题要求“大于的长为半径”的理由是：半径如果小于，则两弧无法相交；而半径如果等于，则两弧交点位于C点处，无法作出直线CM。 在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。 小结： 本题属于作图题。在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。 知识点二 角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 角平分线性质的符号语言： 在的平分线上 于，于 例2：如图，是的角平分线，，，垂足分别是。连接，交于点。说出与之间有什么关系？证明你的结论。 思路分析： 两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。 角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。 解答过程： ，且 证明：平分 ，，垂足分别是 在和中 （HL） 在△DGE和△DGF （SAS） ， ，且。 解题后的思考： 通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。 在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。 例3：如图，是的外角的平分线上一点，于，于，且交的延长线于。 求证：。 思路分析： 由已知条件，可以利用角平分线的性质得到DE＝DF。而要证明CE＝CF，只要证明以它们为边的两个三角形全等即可。将两者结合起来分析就不难找到思路。 解答过程： CD是的平分线，于，于 ， 在和中 （HL） 解题后的思考： 利用角平分线的性质可以证明线段相等，而线段相等可能又是证明其他结论所需要的条件。 小结： 运用角平分线的性质时应注意以下三个问题： （1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直。 知识点三 角平分线的判定 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 角平分线判定的符号语言： 于，于 且 在的平分线上 （或写成是的平分线） 例4：如图，，于，于，和交于点。 求证：平分。 思路分析： 要证平分，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。 解答过程： 于，于 在和中 （AAS） 又于，于 平分。 解题后的思考： 判定角的平分线时若题目中只给出一个条件或，，那么得出平分这一结论是错误的。 例5：如图，是上两点，是上两点，且，，试问点是否在的平分线上？ 思路分析： 一方面，要判断点是否在的平分线上，只要判断点P到角的两边距离是否相等即可；另一方面，由已知条件中三角形面积和底边相等可以推导出高相等。这样已知和结论就联系起来了。 解答过程： 证明：过点P作于D，于E ，， 而 又 又于D，于E 在的平分线上。 解题后的思考： 利用面积证明相关结论是一种常见方法。面积法有着其他方法所不具有的优势，比如它不要求考虑线段的位置关系。 小结： 角平分线的判定与角平分线的性质是互逆的。 判定角的平分线要满足两个条件：“垂直”和“相等”。若已知“垂直”则设法证明“相等”，若已知“相等”则设法证明“垂直”。 知识点四 角平分线的综合应用 例6：如图，在中，，平分，于，在上，。求证：。 思路分析： 由已知条件很容易得到DC＝DE；要证明CF＝EB，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。 解答过程： 平分，， 在与中 （HL） 。 解题后的思考： 掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。 例7：如图，已知在中，，。 求证：平分。 思路分析： 有两种方法证明平分：一是直接利用定义证明；二是利用角平分线的判定，证明点D到角的两边距离相等。 仔细观察，前者需要证明三角形全