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说明表 函数图像中的美丽奥秘 喻晓 (周恩来政府管理学院 政治学与行政学 1112756) 摘要：笛卡尔坐标系的诞生将函数和几何通过函数图像美妙地结合在一起，建起抽象和形象之间的桥梁。函数图像在提供最直观的美感同时，更能在将图像用函数统一表示的过程中升华出美的固定规律性。从此，感性的不可捉摸的艺术美可以通过数学进行理性的定量分析。本文通过探索函数图像中的美丽奥秘，总结美丽函数图像的特点，深入探讨感官美的数理本质。 关键字：函数图像 美丽 坐标系 1.引子 从一个数学家的凄美故事讲起 当时法国正流行黑死病，流浪到瑞典将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀，直角坐标当时也只有这对师生才懂。后来，他们之间有了不一样的情愫，发生了喧腾一时的师生恋。这件事传到国王耳中，于是将放逐回法国，并将克丽丝汀软禁。 一回到法国后就染上了黑死病。不断地写信到瑞典给克丽丝汀，但却被拦截没收。在快要死去的时候，他寄出了第封信， 这封信的内容只有短短的一行...... r=a(1-sinθ) 国王拦截到这封信之后，拆开看发现并不是一如往常的情话。所以，就把信交给克丽丝汀克丽丝汀收到这封信雀跃无比立刻动手研究这行字的秘密。 没多久就解出来了，用的就是直角坐标图 当θ＝0°时，r＝a(1－0)＝a　 ……　A点 当θ＝90°时，r＝a(1－1)＝0　 ……　B点 当θ＝180°时，r＝a(1－0)＝a　 ……　C点 当θ＝270°时，r＝a(1＋1)＝2a　……　D点 a为四截距的比值 而 B点是原点(0,0) ，这要靠点想象，把A,B,C,D四点用弧线连接起来连接出来..就是有名的心脏线。 这就是和克丽丝汀之间秘密数学式传说，这第封的另类情书还保留在欧洲的纪念馆里。 2.爱情方程式 首先我们引入圆锥曲线的定义：二元二次方程所表示的是圆锥曲线，而根据判别式的不同，包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化模型。根据焦点-准线观点严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。　　给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线，根据e的范围不同，曲线也各不相同，具体如下1) e=0，轨迹退化为圆2) 0e1，轨迹为椭圆。 3) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线。 4) 1e∞，轨迹为双曲线。注意:虽然只有一个点和一条线，但可以得到双曲线两个分支 5) e=∞，轨迹退化为一直线（就是L）。若将函数的表达式变成时， 3.玫瑰花方程式 首先我们引入极坐标系：在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零 ，极角任意。极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?θ) = r(θ)，则曲线关于极点(0°/180°)对称，如果r(π+θ) = r(θ)，则曲线关于极点(90°/270°)对称，如果r(θ?α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆 、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。 ，θ)就是ρ，即点到极点的距离，a可以类比圆极坐标方程里的2r，确定极坐标曲线的轴径，b则与方程图象的旋转复制有关系。最后当我们把这个方程画出来时，发现这个函数的图像其实就是很好看的玫瑰，b代表的是花瓣的个数，而a是花瓣的尺寸（即半径），当a取1、2、3、4、5，b取4时，便有了右面的图像。这种曲线在b较大的时候，与一些建筑物中的花纹不无相似之处。 4.其他的美丽函数图像 1）叶形线 其解析式为：x3+y3=3axy 2）箕舌线 其解析式为y(x2+4a2)=8a3 3）双纽线 解析式：(x2 + y2)2 = 2a2(x2 ? y2) 4）李萨茹曲线 解析式：利萨茹曲线由以下参数方程定义： 其中， 以下是一些李萨茹曲线： 5.特点总结 5.1对称美 无论是心形曲线，还是玫瑰花方程式，都体现了对