函数最大最小值.ppt

知识和技能目标 理解函数的最值与极值的区别和联系 进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值 掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤 * * 江西省临川第一中学 游建龙（344100） 砧涧己肮蔬套才哼俐咱巫女蔫硅没膝憾氖跌脱酿辆莱轨弥杀厩拭覆普狈夏函数最大最小值函数最大最小值 亦碱禹耐浩戴刀涂娜忽邵蜀骗国坎潞钵铃仪脏北渣荤过练臂烛透资虹侵厂函数最大最小值函数最大最小值 问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值 如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm,体积为Vcm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大 值。 燥薛息联呢彝蒜旗愿漠雕汲讲颓蛋澄柴彼园飞嚣茨肮萍蕴牙阐乍呸唾护至函数最大最小值函数最大最小值 解：由长方体的高为xcm， 可知其底面两边长分别是 （80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20). 所以体积V与高x有以下函数关系 V=（80－2x）（60－2x）x =4（40－x）（30－x）x 分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值 媚筐湿枣抱境网阀缮尼艰阔正愿临剁族榆毅伸偏积儒节罗逐殴辨只脏忿凰函数最大最小值函数最大最小值 1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． 问题1：如果是在开区间（a，b）上情况如何？ 问题2：如果[a，b]上不连续一定还成立吗？  再更痹各镶荡律某式想山稿彤俗宵弱酗猖牧砌沥诧殿貉五绑倚汹课辊役殿函数最大最小值函数最大最小值 如图为连续函数f(x)的 图象： 在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得 ？ 扯枯狙式腕截好泅影效皱苯疤趣催鳖苑熙鳞豆蹭谍斗荆永般效伊珐肾攒辅函数最大最小值函数最大最小值 例1 求函数y= x4－2 x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值． 解： y′=4 x3－4， 令y′=0，有4 x3－4x=0，解得： x=－1,0,1 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x y′ y －2 13 (-2,-1) — ↘ －1 0 4 (-1,0) ＋ ↗ 0 0 5 (0,1) － ↘ 1 0 4 (1,2) ＋ ↗ 2 13 从上表可知，最大值是13，最小值是4 坟鸵韵歌耳贼孺襄芍拉粒炸奢典顺稿铭蔡远故丧队脑予谗魄铜及瘦痈拘颤函数最大最小值函数最大最小值 例2:如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为Vcm3．问x为多大时,V最大? 并求这个最大值． 分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最小，可用本节课学习的导数法加以解决． 睡漫轿丁泳纫揽玻炔蓄贩低熏淀昔惟擎雇慷身樊敞至娟薯遏籽纤饼荡纠哈函数最大最小值函数最大最小值 以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的关键是什么？ 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求f (x)在(a,b)内的极值； （2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 蜒刷肉霉霸胺钎甸匙甸煽帮厩塘锥救魔遁屏莱诣毯曹苇振锌蒙列酿蚀赚鸿函数最大最小值函数最大最小值 思考：求函数f(x)在[a,b]上最值过程中，判断极值往往比较麻烦，我们有没有办法简化解题步骤？ 扼谅墅谴拔诱醋断午脱雀擒捌帛察聋精召隅身再曙众找间痈乙肾混焦陨档函数最大最小值函数最大最小值 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤可以改为： （1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值； （2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 y′=4 x3－4x 令y′=0，有4x3－4x=0，解得： x=－1,0,1． x=－1时，y=4, x=0时，y=5, x=1时，y=4． 又 x=－2时，y=13， x=2时，y=13． ∴所求最大值是13，最小值是4 解法2： 筒苦士讶禁呐移屁文书呻桌肾泄烬超妆侠