中考数学压轴题二次函数动点问题五.doc

2012中考数学压轴题 二次函数动点问题（五） 1.如图，抛物线与x轴交A(1，0)，B(－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式； （2设（1）中的抛物线交y轴C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值若不存在，请说明理由．解：将A1，0)，B(－3，0)代得 解得 ∴该抛物线的解析式为存在该抛物线的对称轴为＝－1 ∵抛物线交x轴A、B两点∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称由轴对称的性质可知，直线BC与的交点即为Q点，此时△QAC周长最小．．∴C的坐标为．直线BC解析式为B(－3，0)，C(0，3)代入，得 解得 ∴直线BC解析式为3． 解得∴点Q的坐标．存在．设P点．×3×3＝S四边形PBOC － 当S四边形PBOC有最大值，就最大．BE·PE＋(PE＋OC)·OE ＝(x＋3)(－x 2－2x＋3)＋(－x 2－2x＋3＋3)(－x)＝－(x＋)2＋＋ 当时，最大值＋．∴S△PBC最大值＋－＝．时，－x 2－2x＋3＝－(－)2－2×(－)＋3＝．点P坐标为，)．(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长． 解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋，得0＝a(－2－1)2＋．∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋ 即y＝－x 2＋x＋．2）∴xD＝－＝1，yD＝－×1 2＋×1＋＝．)．N，则DN＝，AN＝3， ∴AD＝＝6．∴∠DAO＝60°∵OM∥AD ①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．∴OP＝6∴t＝6（s） ②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形． 过点O作OE⊥AD轴于E．在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1． （注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1） ∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．∴t＝5（s） 6分 ③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6－2＝4．∴t＝4（s） 综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形． （3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°． 又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6． ∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3） 过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝t． ∴S四边形BCPQ ＝S△COB －S△POQ＝×6×－×(6－2t)×t＝(t－)2＋ 9分 ∴当t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为． 此时OQ＝6－2t＝6－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝． ∴PQ＝＝＝ 3.如图，已知直线y＝－x＋1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E． （1）请直接写出点C，D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积． 解：（1）C(3，2)，D(1，3)； （2）设抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx＋c， 解得∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋x＋1； （3）①当点A运动到点F（F为原B点的位置） ∵AF＝＝，∴t＝＝1（秒）． 当0＜ t ≤1时，如图1．B′F＝AA′＝t ∵Rt△AOF∽Rt△∠GB ′F，∴＝． ∴B ′G＝·B ′F＝×t＝t 正方形落在x轴下方部分的面积为S即为△B ′FG的面积S△B′FG ∴S＝S△B′FG＝B ′F·B ′G＝×t×t＝t 2 ②当点C运动到x轴上时 ∵Rt△BCC ′∽Rt△∠AOB，∴＝． ∴CC ′＝·BC＝×＝，∴t＝＝2（秒）． 当1＜