中考数学压轴题二次函数动点问题二.doc

2012中考数学压轴题 二次函数动点问题（二） 1.如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于． （1）求证：点为线段的中点； （2）求证：①四边形为平行四边形； ②平行四边形为菱形； （3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由． （08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知． ，， ． ，即为的中点． 法二：又轴，． （2）①由（1）可知，， ，， ．， 又，四边形为平行四边形． ②设，轴，则，则． 过作轴，垂足为，在中， ． 平行四边形为菱形． （3）设直线为，由，得，代入得： 直线为． 设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得： ，，解得．得公共点为． 所以直线与抛物线只有一个公共点． 2.如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E. （1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点； （3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. （1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上， ∴ m=-2×(-2)-1=3. ∴ B(-2,3) ∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2， ∴ 点A的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). 将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ . ∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为， 即. （2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5). 过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G， 则BG⊥直线x=2，BG=4. 在Rt△BGC中，BC=. ∵ CE=5，∴ CB=CE=5. ②过点E作EH∥x轴，交y轴于H， 则点H的坐标为H(0,-5). 又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)， ∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°. ∴ △DFB≌△DHE （SAS），∴ BD=DE.，即D是BE的中点. （3） 存在. 由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上， ∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点. 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b. 将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得 . ∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1. ∵ 动点P的坐标为(x，)，∴ x-1=. 解得 ，. ∴ ，. ∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，). 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A（0，－4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5． （1）求、的值；（4分） （2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3分） （3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分） 解：（1）解法一： ∵抛物线=－++经过点A（0，－4）， ∴=－4 又由题意可知，、是方程－++=0的两个根， ∴+=， =－=6 由已知得（-）=25， 又（-）=（+）－4=－24 ∴ －24=25， 解得=± 当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴=－． 解法二：∵、是方程－++c=0的两个根， 即方程2－3+12=0的两个根． ∴=，∴－==5，解得 =± （2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 又∵=－－－4=－（+）+ ∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D． （3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0）， 根据菱形的性质，点P必是直线=-3与 抛物线=－--4的交点， ∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4， ∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BP