中考数学抛物线与几何问题精选含答案.docVIP

2008年中考试题抛物线与几何问题精选 1、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标； （2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点． ，点都在抛物线上， 抛物线的解析式为顶点 （2）存在（3）存在理由： 延长到点，使，连接交直线于点，则点就是所求的点． 过点作于点． 点在抛物线上， 在中，， ，， 在中，， ，，设直线的解析式为 解得 解得 在直线上存在点，使得的周长最小，此时． （山东济南）已知：抛物线(a≠0)，顶点C (1，)，与x轴交于A、B两点，． （1）求这条抛物线的解析式． （2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 同理: （3）证PH=BH且△APM∽△PBH 再证△MEP∽△EGF可得。 解：(1)设抛物线的解析式为 将A(－1，0)代入: ∴ ∴ 抛物线的解析式为，即： （2）是定值， ∵ AB为直径，∴ ∠AEB=90°，∵ PM⊥AE，∴ PM∥BE ∴ △APM∽△ABE，∴ ① 同理: ② ① + ②: （3）∵ 直线EC为抛物线对称轴，∴ EC垂直平分AB ∴ EA=EB ∵ ∠AEB=90° ∴ △AEB为等腰直角三角形． ∴ ∠EAB=∠EBA=45° 7分 如图，过点P作PH⊥BE于H， 由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形， ∴PH=ME且PH∥ME 在△APM和△PBH中 ∵∠AMP=∠PHB=90°， ∠EAB=∠BPH=45° ∴ PH=BH 且△APM∽△PBH ∴ ∴ 　① 在△MEP和△EGF中， ∵ PE⊥FG， ∴ ∠FGE+∠SEG=90° ∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP ∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF ∴ 　　　　② 由①、②知： (浙江杭州) 在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣∣OC∣），连结A，B。 （1）是否存在这样的抛物线F，？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=，求抛物线F对应的二次函数的解析式。 ∵ 平移的图象得到的抛物线的顶点为, ∴ 抛物线对应的解析式为:. ∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴. 令, 得，, ∴ )( )| , 即, 所以当时, 存在抛物线使得.-- 2分 (2) ∵, ∴ , 得: , 解得. 在中, 1) 当时,由 , 得, 当时, 由, 解得, 此时, 二次函数解析式为; 当时, 由, 解得, 此时，二次函数解析式为 + +. 2) 当时, 由 , 将代, 可得, , （也可由代，代得到） 所以二次函数解析式为 + –或. 与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点. （1）求点A的坐标; （2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标; （3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S, 点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线的函数关系式是y=-2x，所以应讨论①当点P在第二象限时，x0、 ②当点P在第四象限是，x0这二种情况。 解：（1）∵ ∴A(-2,-4) （2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4) 四边形ABOP2为等腰梯形时，P1() 四边形ABP3O为直角梯形时，P1() 四边形ABOP4为直角梯形时