04第七届全国力学竞赛试题及评分标准.doc

第七届全国周培源大学生力学竞赛评分标准 一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20分) 一半球形高脚玻璃杯，半径 r =5cm，其质量m1=0.3 kg，杯底座半径R =5 cm，厚度不计，杯脚高度h =10 cm。如果有一个质量kg的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平面之间的静摩擦因数fs = 0.5。试分析小球在运动过程中：（1）高脚玻璃杯会不会滑动；（2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起）。 解： （1）分析杯子滑动情况 设杯子不动，小球在杯子未运动前不脱离杯子。取小球为研究对象，受力如图所示，应用动能定理有 （2分） 即 由牛顿运动定理有 （2分） 解得 （1分） 取杯子为研究对象，受力如图所示， ， ，=0 （2分） 解得 （1分） 最大静滑动摩擦力，而 1.50 由于，所以杯子不滑动。 （2分） 得 （2分） 解得 ；。 即时，杯子倾侧（一侧翘起）。 （2分） 通过以上分析得知，当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角时，高脚玻璃杯侧倾（一侧翘起）。 二、杂耍圆环(40分) 1.杂技演员将一个环沿水平地面滚出，始环一跳一跳向前滚动，随后不离开地面向前滚动为什么？杂技演员拿出环，面向前抛出，不久环又自动返回到演员跟前。设时环心速度大小为，角速度为，环半径为r，质量为m，环与地面的摩擦因数为，不计滚动摩阻，问 （1环能自己滚回的条件是什么（？（3）当圆环在水平面上无滑动滚动，速环平面保持在平面内。碰到高为h的无弹性台阶， 能不脱离接触爬上台阶。用铁推动环在水平面上匀速滚动，设环保持在垂平面内滚动，如图所示铁与环之间的摩擦因数为 ft ，环滚动摩阻为 δ 使的推力最小铁的接触点环一跳一跳向前滚动随后不离开地面向前滚动环初瞬时环心速度为v0，角速度大小为(0，以后为v和(。圆环与地面接触点的速度大小为 u=v+r( ( 1 ) 第一阶段，u0，圆环与地面有相对滑动，摩擦力F=fFN，式中FN=mg由质心运动定理 （2） 解得 v=v0－fgt ( 3 ) 由 （4） 解得 （5）(都随时间而减小。 第二阶段，由（1），（3），（5）式解得 当u=0时刻开始摩擦力为零，有 （6） 此时质心速度大小为 要使得圆环返回，则 ，圆环自己滚回的条件为 方向如图所示。 （2）离最远处开始无滑动地滚动的距离 圆环到达最远距离时，v=0，时间为 ； 当u=0时刻开始无滑动滚动，有 ； 在此过程中，加速度的大小为a=fsg 所求距离： （3）圆环能不脱离接触地爬上台阶 碰后对O点的动量矩 其中 由于碰撞时对O点动量矩守恒，则，即 解得碰撞后角速度 要使圆环爬上台阶的条件是：当重心上升到最高位置时，还有剩余动能。 由动能定理得 ， 式中(3重心上升到最高位置时的角速度 即 (1分) 将(2代入整理得圆环爬上台阶的条件 (1分) 碰撞结束后，由质心运动定理有 即 (1分) 圆环不跳起，应有 FN0，即。(2分) 将(2和代入整理得圆环不跳起的条件 (1分) 圆环能不脱离接触爬上台阶 (1分) 3．确定推动力F为最小值时的接触点Aα。A，B 两点处的摩擦角分别为φm=arctgft和φl=arctgfs 滚动摩阻力偶矩为Mf。圆环匀速滚动时，重力mg、地面摩擦力F1、支撑力FN、推动力F和滚阻力偶Mf相平衡。列平衡方程，有 ① （1分） ②