二中高三数学第一轮复习数列的综合应用教学案.doc

教案 数列的综合应用 一、课前检测 1．猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,……的第n个式子为 。 答案： 2．用数学归纳法证明,在验证成立时,左边所得的项为( C ) A.1 B.1+ C. D. 二、知识梳理 1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。 ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为.其中第年产量为，且过年后总产量为： ⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款： =. 注意：“分期付款”、“森林木材”型应用问题 ⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. ⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为： (等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足： (等比数列问题). ⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率. 以等差数列为模型的问题×100+（100n+800）（15－n）+×（－100）=21300（1≤n≤15）. 整理化简得n2－31n+198=0. 解得n=9或22（不合题意，舍去）. 答：在第9天达到运送食品的最大量. 变式训练数列{an}中，a1＝6，且an－an－1＝＋n＋1(n∈N*，n≥2)，则这个数列的通项an＝________.答案：(n＋1)(n＋2) 解：由已知等式得nan＝(n＋1)an－1＋n(n＋1)(n∈N*，n≥2)，则－＝1，所以数列{}是以＝3为首项，1为公差的等差数列，即＝n＋2，则an＝(n＋1)(n＋2)．n＝1时，此式也成立． 以等比数列为模型的实际问题 ≈2522.64（万平方米）， ∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米. 评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 变式训练［（1+p）7－（1+p）］ 解：存款从后向前考虑 （1+p）+（1+p）2+…+（1+p）5 ==［（1+p）7－（1+p）］. 注：2008年不再存款. 小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。 题型3 数列与函数、不等式等问题的综合应用(文)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)． (1)试判断数列{}是否为等差数列；(2)设{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项为Sn； (3)若λan＋≥λ，对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，∴由已知可得－＝3(n≥2)，故数列{}是等差数列． (2)由(1)的结论可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2， ∴Sn＝＝. (3)将an＝＝代入λan＋≥λ并整理得λ(1－)≤3n＋1， ∴λ≤，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立． 设Cn＝，则Cn＋1－Cn＝0，故Cn＋1Cn， ∴Cn的最小值为C2＝，∴λ的取值范围是(－∞，]． 变式训练已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝an－，若1Sk9(k∈N*)，则k的值为________．答案：4 解：∵Sn＝an－，∴S1＝a1－＝a1，a1＝－1.an＝Sn－Sn－1(n1)，即an＝(an－)－(an－1－)＝an－an－1，整理得：＝－2，∴{an}是首项为－1，公比为－2的等比数列，Sk＝＝，∵1Sk9，∴19，即4(－2)k28，仅当k＝4时不等式成立．