三角函数公式及其推导两种方法.docx

三角函数公式及其推导三角函数的定义A cb θC a BFigure I由此，我们定义：如Figure I, 在ΔABC中备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表示时，不能省略。在本文中，我们只研究sin、cos、tan。额外的定义简便计算公式证明：证完任意三角形的面积公式 C a b h d e B c AFigure II如FigureII,余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。证明：如Figure II,证完海伦公式证明：如Figure II,正弦定理Figure IIIAc OB a C如 Figure III,c为ΔABC外接圆的直径,同理：加法定理两角差的余弦y A B O C xβ(α-β)αFigure IV如 Figure IV, 令AO=BO=r点A的横坐标为点A的纵坐标为点B的横坐标为点B的纵坐标为由余弦公式可得：综上得：两角和的余弦两角和的正弦两角差的正弦两角和的正切两角差的正切两倍角公式积化和差公式和差化积公式设：A=α+β, B=α-β,设：∵其他常用公式特殊的三角函数值sin01cos10tan01N/A关于机器算法在计算机中，三角函数的算法是这样的，其中x用弧度计算推导公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R为外接圆半径) 　由正弦定理有　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R　所以　a=2R*sinA　b=2R*sinB　c=2R*sinC　加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入　(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R两角和公式　sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB　sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB 　cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB　cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB　tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)　tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)　cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 　cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)　倍角公式　Sin2A=2SinA?CosA对数的性质及推导　用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数　*表示乘号，/表示除号　定义式：　若a^n=b(a0且a≠1)　则n=log(a)(b)　基本性质：　1.a^(log(a)(b))=b　2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);　3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);　4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)　推导　1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)　2.　MN=M*N　由基本性质1(换掉M和N)　a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]　由指数的性质　a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}　又因为指数函数是单调函数，所以　log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)　3.与2类似处理　MN=M/N　由基本性质1(换掉M和N)　a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]　由指数的性质　a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}　又因为指数函数是单调函数，所以　log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)　4.与2类似处理　M^n=M^n　由基本性质1(换掉M)　a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n　由指数的性质　a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}　又因为指数函数是单调函数，所以　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)　其他性质：　性质一：换底公式　log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)　推导如下　N=a^[log(a)(N)]　a=b^[log(b)(a)]　综合两式可得　N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}　又因为N=b^[log(b)(N)]　所以　b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[