中考二次函数面积最值问题(含答案).doc

题型二：面积最值问题 例1、（2012·哈尔滨）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?21世纪教育网 解：（1）（2）0 ∴S有最大值 ∴ ∴ S的最大值为当x为0cm时，面积最大，最大面积是cm2。如图，矩形ABC的两边，点PQ分别从、同时出发，P在上沿方向以每秒的速度运动，Q在上沿方向以每秒1的速度匀速运动．（1）（2）PB·BQ, PB=AB－AP=18－2x，BQ=x， ∴y=（18－2x）x， 即y=－x2+9x（0x≤4）; （2）由（1）知：y=－x2+9x， ∴y=－(x－）2 +, ∵当0x≤时，y随x的增大而增大， 而0x≤4， ∴当x=4时，y最大值=20， 即△PBQ的最大面积是20cm2. 2．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动． （1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围． （2）t为何值时，S最小？最小值是多少？ 解：（1）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6﹣t）cm，BQ=2tcm， 故S△PBQ=?（6﹣t）?2t=﹣t2+6t ∵S矩形ABCD=6×12=72． ∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）； （2）∵S=t2﹣6t+72=（t﹣3）2+63， ∴当t=3秒时，S有最小值63cm．．在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成如图，若设花园的BC边长为x（m）花园的面积为y（m2） （1）求y与x之间的函数关系式，并求自变量的x的范围． （2）当x取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？ 　解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC， ∵BC=xm，AB+BC+CD=40m， ∴AB=， ∴花园的面积为：y=x?=﹣x2+20x（0＜x≤15）； ∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x2+20x（0＜x≤15）； （2）∵y=﹣x2+20x=﹣（x﹣20）2+200， ∵a=﹣＜0， ∴当x＜20时，y随x的增大而增大， ∴当x=15时，y最大，最大值y=187.5． ∴当x取15时花园的面积最大，最大面积为187.5． 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4） 易知CN=4-x，EM=4-y．，即，∴，， 此二次函数的图象开口向下对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值随的增大而增大，对来说，当x=4时，．．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？ (2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ 解：(1)∵长为x米，设面积为平方米． ∴当时，(平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有道篱笆，则宽为米，设面积为平方米． ∴当时，(平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．值与中间有多少道隔墙无关．．如图，矩形ABCD的边AB=6 cm，BC=8cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角，设BP=x cm，CQ=y cm，试以x为自变量，写出y与x的函数关系式． 解：∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°, ∴∠QPC=∠BAP，∠B=∠C=90°.∴△ABP∽△PCQ. ∴． 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S单位：平方米随矩形一边长x单位：米的变化而变化． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 解：（1）根据题意，得 自变量的取值范围是 （2），有最大值 当时， 答：当为15米