中考压轴题(二次函数)之【由面积产生的函数关系问题】精品解析.doc

中考压轴题（二次函数）之【由面积产生的函数关系问题】精品解析 【例1】2013年菏泽市中考第21题 如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形． （1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式； （2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？ ②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？ 图1 思路点拨 1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到． 2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来． 3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大． 满分解答 （1）由，得A(0,3)，C(4,0)． 由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8． 因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)． 将B(－4,0)、D(8,3)分别代入，得 解得，c＝－3．所以该二次函数的解析式为． （2）①设点P、Q运动的时间为t． 如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝． 当PQ⊥AC时，．所以．解得． 图2 图3 ②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H． 由于S△APQ＝， S△ACD＝， 所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝． 所以当AP＝时，四边形PDCQ的最小值是． 考点伸展 如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？” 除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况． 这时，所以．解得（如图4所示）． 图4 【例2】 2012年广东省中考第22题 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC． （1）求AB和OC的长； （2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）． 图1 思路点拨 1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方． 2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比． 满分解答 （1）由，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)． 所以AB＝9，OC＝9． （2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB． 所以． 而，AE＝m， 所以． m的取值范围是0＜m＜9． 图2 图3 （3）如图2，因为DE//CB，所以． 因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以． 所以． 当时，△CDE的面积最大，最大值为． 此时E是AB的中点．． 在Rt△BEH中，． 当⊙E与BC相切时，．所以． 考点伸展 在本题中，△CDE与△BEC能否相似？ 如图2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不能相似． 【例3】 2012年河北省中考第26题 如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，． 探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________． 拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0） （1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD； （2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值； （3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值． 图1 图2 答案 探究 AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84． 拓展 （1）S△ABD＝，S△CBD＝． （2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得．所以． 由于AC边上的高，所以x的取值范围是≤x≤14． 所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12． （3）x的取值范围是x＝或13＜x14．． 【