反比例函数中的面积问题.doc

专题四 反比例函数中的面积问题 ?????? 由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下： ??? 一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题 设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|??? ?? ∴xy=k???? 故S=|k|??? 从而得 结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| ?? ?对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为： ?? ?结论2：在直角三角形ABO中，面积S= ??? 结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k| ??? 结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k| ??? 1．已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）? ??例1（1）(广东省深圳市)如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交 于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2， 则k＝　　　　． 分析：由图象知,k0,由结论及已知条件得 ∴ k=4 ?? （2）（甘肃省兰州市）如图，已知双曲线（）经过矩形 的边的中点，且四边形的面积为2，则??????? ． 分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点 ∴?? 而 ?????由四边形OEBF的面积为2得? 解得 k=2 评注：第①小题中由图形所在象限可确定k0，应用结论可直接求k值。第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。 例2（贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3． （1）求两函数的解析式． （2）求两函数的交点A、C的坐标． （3）若点P是y轴上一动点，且， 求点P的坐标． 解：（1）由图象知k0，由结论及已知条件得 -k=3???? ∴?????????????????? ? ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）由，解得，?????????? ??? ∴点A、C的坐标分别为（，3），（3，）?????????????????? （3）设点P的坐标为（0，m） 直线与y轴的交点坐标为M（0，2）????????????????? ∵?????????? ∴∣PM∣＝，即∣m－2∣＝，∴或， ∴点P的坐标为（0，）或（0，） 评注：依据图象及结论求k值是本题的关键，只有求出k代值，才能通过解方程组求A、C两点的坐标，然后才能解决第③小问。 2． 例3（1）（湖北省鄂州市）在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（?? B ） ? ? ? A．????????????? ??? B．???????????? ???? C．?????????? ?? ???D． 分析：因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面积易求。对于A：S=4，对于B：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故S= ，对于C：S=4，对于D：S=4 故选（B） （2）(年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则??????? ． 分析：由结论知，∴S1+1=S2+1=3? ∴S1=S2=2? S1+S2=4 评注：过双曲线上作坐标轴垂线所围成的矩形的面积可直接由结论求解，过程简单。 二、利用点的坐标及面积公式求面积 例4（四川省南充市）如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积． 解：（1）在上? ． 反比例函数的解析式为：． 点在上?? ???? 经过，， 解之得?? 一次函数的解析式为： （2）是直线与轴的交点 当时，??? 点???? 例5(年达州)如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积. .解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上 ∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y= （2）∵B点的横坐标为-4， ∴纵坐标为y=2???? ∴B(-4，2) ∵点A（-2，4）、