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二次函数基础知识盘点 二次函数是中考必考的内容，填空题、选择题常考查其基础知识，解答题一般与其他知识组合形成综合题，并常作为压轴题，以考查学生分析问题和解决问题的能力，因此盘点一下二次函数的基础知识很有必要。 一、二次函数的系数与抛物线的特征 1. 的符号确定抛物线的开口，时开口向上；时开口向下。 2. 的整体符号确定抛物线对称轴的位置，当（即）时，对称轴在轴的左方；当（即）时，对称轴在轴的右方，特殊地，当时，，轴为抛物线的对称轴。 当的符号与对称轴的位置确定时，可以确定的符号，例如，对称轴在轴的右方时，，若，则；若，则。 3. 的符号确定抛物线与轴的交点位置。时，交点在轴的正半轴上；时，交点在轴的负半轴上。特殊地时，抛物线过原点。又若时，抛物线的顶点在原点。 4. 的符号确定抛物线与轴的交点个数。时，有两个交点；时，只有一个交点，抛物线的顶点在轴上；时，没有交点。 例如，二次函数的图象如图⑴所示，则，（），，。 二、二次函数与二次方程之间的关系 二次函数中，当时，转化为方程，当抛物线与轴有交点时（），可以解二次方程，求得抛物线与轴的交点坐标，并且由图象可以确定当取何值时或。 例如，二次函数中，令，得或，抛物线与轴交于，两点（如图2）。当或时，；当时，。 三、二次函数的恒等变形 。 这是一种非常重要的恒等变形，应该熟练掌握，这种变形至少有以下几个方面的作用： 1. 可知抛物线的顶点坐标为； 2. 可知抛物线的对称轴为； 3. 可知二次函数的最大值或最小值，当时，有最小值；当时，有最大值； 4. 可以确定为何值时，随的增大而增大，或随的增大而减小； 5. 便于取点作出二次函数的图象（通常找出五点：顶点，与轴的两个交点，与轴的交点及该点关于对称轴的对称点）； 6. 有利于按照要求平移抛物线。 例如，二次函数，可通过配方变形为。由此可知抛物线的顶点坐标为；对称轴为；当时，函数有最小值；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；取五点：，，，，可以作出此二次函数的图象（如上图⑵）；将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，就可以得到二次函数的图象。 四、二次函数解析式的确定 二次函数一般有三种形式： 1. 一般式：； 2. 顶点式：，为抛物线的顶点； 3. 交点式：，为抛物线与轴交点的横坐标。 解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式。 例1 如图⑶，二次函数的图象过点和点，且与轴交于正半轴，给出下列四个结论： ① ② ③ ④ 其中正确结论的序号是__________。 解：由图象可知，（），，。 又由图象可知，对称轴，即。 ，，即。 图象过点和， 二式相加得，。 ，，，。 正确结论的序号是②③④。 例2 已知抛物线经过、两点。 ⑴求此抛物线的解析式； ⑵求抛物线与轴的交点坐标； ⑶求抛物线的顶点坐标和对称轴方程； ⑷画出此抛物线的图象； ⑸当取何值时，？ ⑹当取何值时，随的增大而增大？ ⑺将此抛物线沿轴方向向右平移个单位，再沿轴方向向下平移个单位，求平移后的抛物线的解析式。 解：⑴抛物线过和， 即 解得。 ⑵解，即，得或。 抛物线与轴交于和。 ⑶。 抛物线的顶点坐标是，对称轴是。 ⑷抛物线过、、、、、、诸点，图象如图⑷。 ⑸当和时，。 ⑹当时，随的增大而增大。 ⑺平移后的解析式为， 即。 二次函数的图象知识总结 【知识梳理】 一、图象平移示意图 一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a（x- h）2+k的图象． 二、图象的平移方法 1、用配方法将二次函数y=ax2+bx+c转化成y=a（x- h）2+k的形式． 即 y=ax2＋bx＋c = a（x2＋x＋） = a [x2＋2×x＋（）2－（）2] = a（x＋）2＋． 2、图象的平移的方向和大小 根据的正（负）将其图象向左（右）平移||个单位；再根据的正（负）将其图象向上（下）平移||个单位，即可得到二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图1所示． 三、图象的性质 1、二次函数y=ax2+bx+c的图象是以x =－为对称轴，以（－，）为顶点的抛物线． 2、二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图2，当a 0时，其图象的开口向上，这时当x －时y的值随x的增大而减小；当x －时y的值随x的增大而增大；当x =－时，y有最小值．如图3，当a 0时，其图象的开口向下，这时当x －时y的值随x的增大而增大；当x －时y的值随x的增大而减小；当x =－时，y有最大值． 3、二次函数y=ax2+bx+c的图象的二次项系数a——定形；顶点（－，）——定位． 【链接中考】 例1二次函数y=x2－2x－3的对称轴和顶点坐标分别是（ ） A．x = 1，（1，－4） B． x = 1，（1，4） C． x =