五刚体绕定轴的转动一PPT.doc

五、刚体绕定轴的转动 （一） 前言 前两章质点力学讨论的是物体平动的情况，力学中，在一般情况下，一个物体的运动包含平动、转动 、振动等是很复杂的，一物体在平动时，若把物体看成是一刚体（无形变）物体上每一点的运动情况都是一样的，无需考虑物体的形状，大小如何。故物体可抽象为一质点，其运动情况如前两章质点力学所述。但在转动中，情况就不一样了。例如飞轮高速旋转时，其上的各点运动情况各不相同，因而不能简化为质点。这一章与前两章相比，发生了两点变化：一是主要研究对象变了，由质点变为刚体。即从物体来说，必须考虑它的形状，大小。但忽略形变；二是主要研究的问题也变了，由平动变为转动。即从运动来说突出了转动，暂时忽略振动或其他运动。 若将刚体分成许多细微部分，并把每一细微部分看成一个质点，那么刚体可以看成是有无数质点构成的质点组，这个质点组与平动所讨论的质点组是有区别的，其特征是：构成刚体的任意二质点间的距离，在运动中恒定不变，这种看法使我们有可能在上一章质点动力学的基础上来研究刚体情况。 讲授本章内容时，我们采取类比法，把物体的平动与刚体的定轴转动进行类比，其目的就是使同学们能更好地理解刚体定轴转动中一些物理量的物理含义。 一、刚体绕定轴转动的运动特征： 什么是刚体绕定轴的转动呢？刚体中某一直线上的点保持不动（对固定参考系而言），其它各点都以该直线上的相应点为圆心，在垂直于该点的平面内作大小不同的圆周运动。这种运动称刚体绕定轴的转动。相对于参照系不动的直线称为转轴， 刚体绕定轴的转动有三个特点：(在下面的讨论中要用到这些知识。) 1）刚体上各质点都在各自的平面内作半径不同的圆周运动。而圆周运动是用角量来描述的，因此，质点运动学中讨论的角位移，角速度，角加速度等概念都适用刚体定轴转动。 2）各质点作圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线上。 3）尽管各质点绕轴运动的线速度不同，但角速度是相同的，这就意味着角速度的时间变化率也是相同的，即各质元的角加速度相同。 研究刚体定轴转动时，我们把刚体看成是许多垂直于定轴的转动平面组成，通常取其中任一转动平面来研究。这就是一个转动平面（PPT），由转动平面的任意性知，其上任一点可代表刚体的所有点的运动情况。 现引入定轴转动刚体中的一个重要的物理量——转动惯量。 二、 转动惯量 平动物体在运动时具有保持原来运动状态的特性，叫平动惯性。转动的物体有没有这种惯性呢？转动的砂轮在关闭电动机后还会继续转动，最终停下来是由于轴与轮之间的摩擦力。可以想象，如果轮和轴之间丝毫摩擦也没有，那么，砂轮会永远转下去，这就是转动物体保持原有转动状态的特性，叫做转动惯性。 在质点力学中，物体平动惯性的大小是用质量来量度的，质量能否描述转动惯性的大小呢？例：两种同质量但质量分布不一样的刚体（见下图）绕通过质心且垂直于平面的o轴转动时，（a）图中的刚体比（b）图中的细杆转动惯性要大。这表明描述刚体转动惯性大小仅考虑物体质量是不够的，必需引入一个新的物理量——转动惯量。用它来量度转动刚体转动惯性的大小。转动惯量是如何定义的呢？ 1、转动惯量的定义 当刚体绕定轴转动时，若把刚体看成是许多质量元所组成，每一质元视为一质点，则刚体的转动动能就是各质量元作圆周运动的动能之和。对任意质量元，其作圆周运动的动能： =，整个刚体的转动动能： 令括弧内的物理内容为一个新的物理量，用J表示， (1) 并称为转动惯量。 刚体绕定轴转动的转动动能写成 (2) （2）式表明，刚体定轴转动动能不仅与刚体转动的角速度有关，且与转动惯量J有关。J是由（1）式定义的。在国际单位中，的单位为。 对（1）式的说明： 1）对定转轴的刚体来说，各质量元到转轴的距离是一定的，所以对转轴固定的刚体来说是个定值。 2）对于质量离散的转动系统，可直接用定义式来计算转动惯量；对质量连续分布的刚体，（1）式中的求和号应以定积分来代替： 为质量元， 为质量元到转轴的垂直距离。这个积分应遍及整个刚体。在具体计算时，根据刚体质量分布的不同，可引入相应的质量密度，从而建立质元的具体表达式，进行积分运算。 如质量为线分布：，为质量线密度，； 如质量为面分布：，为质量面密度，； 如质量为体分布：，为质量体密度，。 现看一个刚体质量分布为线分布的例子：求质量为m，长为L的匀质细杆绕垂直于杆且通过端点o轴的转动惯量。 解：刚体质量为线分布，取杆长方向为x轴，转轴为坐标原点。匀质杆可看成许多质元组成：，任一质元对o轴的转动惯量：，考虑组成杆的所有质元对o轴的转动惯量： 若转轴垂直于杆且通过质心，可算得（上式计算中，只是积分上、下限的变化）。