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二次函数应用题分类解析 二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类 0 1 2 … y 1 1.5 1.8 … （1）求y与x的函数关系式； （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式； （3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？ 析解：（1）因为题中给出了y是x的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y与x的函数关系式为 （2）由题意得S=10y(3-2)-x （3）由（2）及二次函数性质知，当1≤x≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S随广告费的增大而增大。 二、分析数量关系型 题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。 例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。 （1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围； （2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？ （3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？ 析解：（1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2(70-x)]千克，每千克获利为(x-30)元。根据题意得（30≤x≤70）。 （2）。顶点坐标为（65，1950），草图略，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。 （3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最高时，可获总利221500元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500元。 三、建模型 即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。这类问题建模要求高，有一定难度。 例3．如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm？ 析解：由“抛物线”联想到二次函数。如图4，以MN所在的直线为x轴，点M为原点建立直角坐标系。设抛物线的顶点为P，则M（0，0），N（4，0），P（2，4）。用待定系数法求得抛物线的解析式为。 设A点坐标为（x，y），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y。于是 。且x的取值范围是0x4（x≠2）。 若l=8，则，即。解得。 而0x4（x≠2）。故l的值不可能取8，即截下的矩形周长不可能等于8dm。 注：本题还可在其它位置建立直角坐标系。 例4..某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5. (1)求y关于x的函数关系式; (2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x为何值时,年获利最大?最大值是多少? (3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围 在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元? .解:(1)由题意,设y=kx+b,图象过点(70,5),(90,3), ∴解得∴y=x+12.…………………………………………3分 (2)由题意,得w=y(x-40)-z=y(x-40)-(10y+42.5)=(x+12)(x-10)-10(x+12)-42.5 =-0.1x2+17x-642.5=(x-85)2+80. 当85元时,年获利的最大值为80万元. ……………………………………………………6分 (3)令w=57.5,得-0.1x2+17x-642.5=57.2. 整理,得x2-170x+7000=0. 解得x1=70,x2=100. 由图象可知,要使年获利不低于57.5万元,销售单价应在70元到100元之间.又因为销售单价越