二次函数经典例题及知识点.doc

第16课时 二次函数 一、中考导航图 1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 5.二次函数与一元二次方程的关系。 6.抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系。 三、中考知识梳理 1.二次函数的图象 在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+)2+ 的形式,先确定顶点(-,),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-时,y最小值;反之当a0时,简记左增右减,当x=-时y最大值. 3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法 一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y的值)可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解. 4.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0无实根. 5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定 a的符号由抛物线开口方向决定,当a0时,抛物线开口向上;当a0时,抛物线开口向下;c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定.当c0时,抛物线交y轴于正半轴;当c0时,抛物线交y轴于负半轴;b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;简记左同右异. 6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,应用数形结合思想来解决有关的综合性问题. 四、中考题型例析 1. 二次函数解析式的确定 例1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6. 分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解. (1)解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得 解得 ∴解析式为y=x2+2. (2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8. 把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6. 解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2, ∴解析式为y=2x2-4x-6. 解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8. ∴=-8. 又∵a≠0,∴a=2. ∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6. (3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1, 又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6. 由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0), 设出两根式y=a(x-x1)·(x-x2), 将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8. 点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3