二项式定理教案.docx

二项式定理辅导讲义一.基础知识讲解1.二项式定理的展开式，其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项.注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为，第3.项的系数和二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）．二.基础知识训练（一）选择题1．展开式中常数项是（ ）A.第4项 B. C. D.22．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是（ ）A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.10243．展开式中有理项的项数是（ ）A.4 B.5 C.6 D.74．若与同时有最大值，则m等于（ ）A.4或5 B.5或6 C.3或4 D.55．设(2x-3)4=，则a0+a1+a2+a3的值为（ ） A.1 B.16 C.-15 D.156．展开式中的中间两项为（ ）A. B.C. D.（二）填空题7．在展开式中，x5y2的系数是 8． 9. 的展开式中的有理项是展开式的第 项10．(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 11．展开式中系数最大的项是 12．0.9915精确到0.01的近似值是 （三）解答题13．求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数14．求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数15．已知(1-2x)5展开式中第2项大于第1项而不小于第3，求x的取值范围16．若展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？17．自然数n为偶数时，求证： 18．求被9除的余数19．已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项20．在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数21．求(2x+1)12展开式中系数最大的项参考解答：1．通项，由，常数项是，选（B）2．设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是，选（C）3．通项，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选（A）4．要使最大，因为17为奇数，则或或n=9，若n=8，要使最大，则m==4，若n=9，要使最大，则或或m=5，综上知，m=4或m=5，故选（A）5.C 6.C7.;8.4n;9.3,9,15,2110．(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为3511．(1+3x+3x2+x3)10=(1+x)30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T16=.12.0.9915=(1-0.009)5=13．,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项作积，第一个因式中的－x3与(1-x)9展开式中的项作积，故x4的系数是14．=，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为15．由16．由条件得m+n=21，x2的项为，则因n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小17．原式=18. ,∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴被9除余819．依题意 ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10设第r+1项为常数项，又 令，此所求常数项为18020．在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为 ∴展开式中含x的项为 ，此展开式中x的系数为24021．设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有 ∴展开式中系数最大项为第5项，T5=三.拓展性例题分析例1 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的得系数为：，由已知：，∴通项公式为为有理项，故是4的倍数，∴依次得到有理项为．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项．类似地，的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为．例2 （1）求展开式中的系数；（2）求展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）展开式中的可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用展开式中的常数项乘以展开式中的项，可以得到；用展开式中的一次项乘以展开式中的项可得到；用中的乘以展开式中的可得到；用 中的项