方程的根与函数的零点教案.doc

§3.1.1 方程的根与函数的零点 设计者：数应系07 徐忠星 2007211866 教学分析 函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法 三维目标 让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点 技能目标：通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界 情感目标：通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐 教学重难点 重点：理解函数的零点概念，理解并掌握方程的根与函数的零点的关系； 难点：发现并探究零点存在性定理，进一步理解掌握及应用。 课时安排课时 一、导入新课(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点 1、先观察下列三个一元二次方程的根与其相应的函数的图象： ①方程与函数； ②方程与函数； ③方程与函数； 教师引导学生解方程，画函数图象（教师在黑板画出第一个函数图象），并引导学生发现方程的根与函数图象和x轴交点坐标的关系。 容易知道，①中方程的两个根为，函数图象与x轴有两个交点（-1,0） ②中方程的两个实数根为，函数图象与x轴有一个交点（1,0）③中方程无实数根，函数图象与x轴无交点。 在上面的三个例子中，我们发现： 方程有根，函数图象与x轴就有交点，并且方程的根与函数图象与x轴的交点横坐标相等。 2、那这个结论对一般的一元二次方程及其相应的函数也成立吗？（学生同桌之间交流完成下表） 方程 ， 无根 函数 （，0） （，0） （，0） 无交点 学生自行验证上述结论，结论成立。 3、这个结论对一般的方程及其相应的函数也成立吗？ 函数y=f(x)与x轴的交点在x轴上，交点的纵坐标为0，那么，横坐标就是0= f(x)的解，也就是方程f(x)= 0的根。若方程有根，则说明所求的横坐标存在，即函数图象与x轴的交点存在，且方程的根与函数图象与x轴的交点横坐标相等。结论依然成立。 二、构建概念 由上述结论可知，函数图象与x轴的交点可以把函数图象和方程联系起来，这样的点他还有一个特别的名字：零点。那么，怎样用数学语言来描述零点呢？ 请看课本第87页的定义： 定义（教师板书）：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)= 0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 说明：1、零点不是点，而是实数； 2、零点就是方程的根。 我们结合所学的零点一起来描述一下刚刚的结论： 方程f(x)= 0有根 函数y=f(x)图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 三、例题演练 例1、已知f(x)=有两个零点，求实数的取值范围。若有三个零点，四个呢？ 变式：判断的零点个数。（学生易漏掉0个的情况） 四、诱导启发 1、通过上面的学习，同学们都有哪些求函数零点的方法呢？ （①求相应方程的根，②利用函数图象求交点） 2、若一个函数图象不能直接画出，它相应的方程也不易求根，我们又有什么方法来求得它的零点呢？ 请同学们看课本例二。 例2、求函数f(x)=的零点的个数。（不易求根，不易画图） 学生会觉得非常困难，激发学生的好奇心和好胜心，并加以引导。 同学们，我们先把这个题目放在一边，来观察函数的图象（之前已在黑板上画出）。我们发现在区间[-2,1]上有零点，计算f(-2)·f(1)在区间[2,4]上呢？ 可以发现，f(-2)·f(1)0, 函数在区间（-2，1）内有零点x=-1，它是方程的一个根，同样地，f(2)·f(4)0，函数在区间[2,4]上有零点x=3，它也是方程的一个根。 请同学们自己举例观察，看有没有同样的规律存在。 教师给出零点存在性定理，在黑板上板书。 如果函数y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa)·f(b)0，那么，函数y=f(x) 在区间（a,b）上有零点，及存在c∈（a,b），使得