期望方差公式的证明全集.doc

期望与方差的相关公式的证明 -、数学期望的来由 早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 　　用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。 　　这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来可能取值为（=1，2，3 ，…），其分布列为（=1，2，3， …），则当时，则称存在数学期望，并且数学期望为E=，如果=，则数学期望不存在。 定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xi pi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定. 二、数学期望的性质 （1）设C是常数，则E(C)=C 。 （2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。 （3）。 方差的定义 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。 定义3方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.叫标准差，反映了ξ的离散程度. 定义4设随机变量X的数学期望存在，若存在，则称 为随机变量X的方差，记作，即。 方差的算术平方根称为随机变量X的标准差，记作，即 由于与X具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。 Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散. 方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差=0，则随机变量X 以概率1取常数值。 由定义4知，方差是随机变量X的函数的数学期望，故 当X离散时, X的概率函数为； 当X连续时，X的密度函数为。 求证方差的一个简单公式： 公式1： 证明一： 证明二： 可以用此公式计算常见分布的方差 四、方差的性质 （1）设C是常数,则D(C)=0。 （2）若C是常数,则。 （3）若与 独立，则 公式2： 。 证 由数学期望的性质及求方差的公式得 可推广为：若,，…，相互独立，则 （4） D(X)=0 P(X= C)=1， 这里C =E(X)。 五、常见的期望和方差公式的推导过程 （一）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质pi≥0，i＝1，2，…； （2）p1＋p2＋…＝1。 2．离散型随机变量期望和方差的性质： E (a＋b)＝aE＋b，D (a＋b)＝a2 D。 公式3：E（aξ+b）=aEξ+b， 证明：令 为常数 也为随机变量 所以 的分布列为 　 　 　 … 　 … 　 　 　 … 　 … = = 说明随机变量的线性函数的期望等于随机变量期望的线性函数 公式4：D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）. 证法一： 因为 所以有： 证毕 证法二：Dξ=. E(aξ＋b＝aEξ＋b， Daξ+b)=a2Dξ． 的分布列为：P (＝k)＝Cnk pk qn-k。（k＝0，1，2，…，n，0＜p＜1，q＝1－p，则称服从二项分布，记作~B (n，p)，其中n、 p为参数，并记Cnk pk qn-k=b(k；n，p)。 2．对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。即： （1）P (＝k)＝Cnk pk qn-k＞0，k＝0，1，2，…，n； （2）P (＝k)＝Cnk pk qn-k＝(p＋q) n＝1。 二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。 3．服从二项分布的随机变量的期望与方差公式： 若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）. 公式5：求证：Eξ=np 方法一： 在独立重复实验中，某结果发生的概率均为（不发生的概率为，有），那么在次实验中该结果发生的次数的概率分布为 服从二项分布的随机变量的期望.证明如下： 预备公式 因为 所以