概率论与数理统计第二章习题附答案.doc

习题2-2 1. 设A为任一随机事件, 且P(A)=p(0p1). 定义随机变量 写出随机变量X的分布律. 解 X 0 1 P 1-p p 2. 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为. 试确定常数c, 并计算条件概率. 解 由离散型随机变量的分布律的性质知， 所以. 所求概率为 P{X1| X }=. 3. 设随机变量X服从参数为2, p的二项分布, 随机变量Y服从参数为3, p的二项分布, 若≥, 求≥. 解 注意p{x=k}=,由题设≥ 故. 从而 ≥ 4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为, 求每次试验成功的概率. 解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都没有成功的概率是. 即, 故 =. 5. 若X服从参数为的泊松分布, 且, 求参数. 解 由泊松分布的分布律可知. 6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X的分布律. 解 X的分布律是 X 3 4 5 P 习题2-3 1. 设X的分布律为 X -1 0 1 P 0.15 0.20 0.65 求分布函数F(x), 并计算概率P{X0}, P{X2}, P{-2≤X1}. 解 (1) F(x)= (2) P{X0}=P{X=-1}=0.15; (3) P{X2}= P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=1; (4) P{-2≤x1}=P{X=-1}+P{X =0}=0.35. 2. 设随机变量X的分布函数为 F(x) = A+Barctanx -∞x+∞. 试求: (1) 常数A与B; (2) ?X落在(-1, 1]内的概率. 解 (1) 由于F(-∞) = 0, F(+∞) = 1, 可知 (2) ?? ?? 3. 设随机变量X的分布函数为 F(x)= 求P{X≤-1}, P{0.3 X0.7}, P{0X≤2}. 解 P{X, P{0.3X0.7}=F(0.7)-F{0.3}-P{X=0.7}=0.2, P{0X≤2}=F(2)-F(0)=1. 习题2-4 1. 选择题 (1) 设 如果c=( ), 则是某一随机变量的概率密度函数. (A) . (B) . (C) 1. (D) . 本题应选(C ). (2) 设又常数c满足, 则c等于( ). (A) 1. (B) 0. (C) . (D) -1. 本题应选(B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ). (A) (B) (C) (D) 本题应选(D). (6) 设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且 则下式中成立的是( ). (A) σ1 σ2. (B) σ1 σ2. (C) μ1 μ2. (D) μ1 μ2. 答案是(A). (7) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的正数, 数满足, 若, 则等于( ). (A) . (B) . (C) . (D) . 答案是(C). 2. 设连续型随机变量X服从参数为的指数分布, 要使成立, 应当怎样选择数k? 解X其分布函数为由题意可知 . 于是 . 3. 设随机变量X有概率密度 要使(其中a0)成立, 应当怎样选择数? 解 由条件变形,得到,可知, 于是, 因此. 4. 设连续型随机变量X的分布函数为 求: (1) X的概率密度; (2). 解 (1) 由得 (2) . 5. 设随机变量X的概率密度为 f(x)＝ 求P{X≤}与P{≤2}. 解 ≤; ≤. 6. 设连续型随机变量X具有概率密度函数 求: (1) 常数A；(2) X的分布函数F(x). 解 (1) 由概率密度的性质可得 , 于是 ； (2) 由公式可得（过程简略） 7. 设随机变量X的概率密度为 对X独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率. 解