《金融工程教学课件》第十二章 二叉树.pptx

二叉树阮坚 金融系动态无套利均衡分析（Delta对冲）阮坚 金融系 前面只是无套利原则归纳了期权价值应当遵循的一些关系，没有考虑标的物的价格运动规律，光凭这些关系，还很难给期权的定价。 这一部份将讨论期权定价的基本分析方法—动态无套利分析（不能在一个时期实现现金流的对冲，需要在期间调整组合头寸）在状态价格时，我们只是讲述了1时期的定价问题，在那里，我们用债券A和无风险证券的组合来复制债券B。如果考虑多个相继时期，就要用到多时期的动态无套利分析。 我们继续采用状态价格的例子，扩展到2时期。已知无风险利率为：rf=2%，假定债券A的价格运动规律如下图所示：阮坚 金融系期初第1期期末第2期期末期初第1期期末第2期期末114.49107PBuu=107.67104.86PBud=102.97PA=100PB=?PBd98PBdd=98.48动态复制技术：例有证券A、B，证券A的价格运动规律如左图，证券B在第二期期末3种不同状态下的价格如右图。PBu96.04阮坚 金融系114.49 △u+1.02Lu 114.49107 △u+Lu 107104.86 △u+1.02Lu解先看右上方的二叉树，假设用△u份证券A和现在市场价值为Lu的无风险证券来构筑证券B的组合。见图。104.86可联立方程组 114.49 △u+1.02Lu=107.67 104.86 △u+1.02Lu=102.97解出△u =0.488，Lu =50.78,则PBu =107△u +Lu =103阮坚 金融系107107△ +1.02L100100△ +L9898△+1.02L解（续）对于右下方的二叉树，可建立方程组 104.86△d +1.02Ld =102.97 96.04△d +1.02Ld =98.48解得， △d=0.509, Ld=48.62, PBd=98△d +Ld=98.5再看左方的二叉树，如图。阮坚 金融系解（续）阮坚 金融系可用△份证券A和价值为L的无风险证券的组合来复制证券B。可得方程组 107△+1.02L=103 98△+1.02L=98.5解得，△=0.5，L=48.53故证券B现在的市场价格为PB=100△ +L=98.52941第九章 期权阮坚 金融系动态无套利分析实质上一个“自融资策略”，对上升状态我们可以看到，只是头寸的调整，但组合的市场价值未变。实际上是卖掉了部分债券A，将所得的收益增加到无风险证券的投资中去。头寸可以为负，意思为卖空。动态无套利采用倒推的方法，符合金融学中对价值的预算。期权定价——二叉树（或二项式）方法阮坚 金融系1.二叉树期权定价的原理债券B和复制的证券组合在任意一个点的市场价格发生偏离，就会出现无风险套利的机会。这样一来，债券B实际上变成了债券A(加上无风险证券)的衍生品证券，是与A不相独立的一种有价证券。实际中，并不完全这样，因为市场价格可能出现多个状态。期权本身是衍生品，其价值一般由标的物股票的价格、预定价、距到期的时间以及当时的无风险利率决定，因此标的物股票和无风险证券看来就能够完全复制期权（还要加上预定价与距到期的时间等条件）。这样二叉树定价对期权来说又特殊的意义。可以证明，无限细分二叉树的时间间隔，在一定的条件下，确实能完全描述股票价格变化过程中可能发生的各种状态。阮坚 金融系2.二叉树模型的假设条件可以做空，资产可以细分所有资产的买价和卖价相同不存在交易成本可以在市场上买入或卖出任意数量的资产。可以无限制的借入或借出资金阮坚 金融系Su=90cu=30S=60cSd=30cd=03. 不分红股票的欧式期权的定价（1）欧式买权看一个例子，买权的预定价是60元，阮坚 金融系用 份股票和价值为L的无风险证券来复制买权，可得=0.5，L=-14.71。因此买权的市场价值为c=15.29。 表示什么含义股票期末上升到90元的概率为p，期权的定价与这一概率有没有关系？期权定价只用到现在的价格S，在一个有效率的市场中，股票的均衡价已经反映了未来的收益。阮坚 金融系利好消息会影响到期权的定价，股价上升的概率变大，从而影响股价。二叉树定价的一般模型：假定：u=1+股票上涨状态的收益率d=1+股票下跌状态的收益率 （无风险收益率）且满足：阮坚 金融系复制买权的关系为：这里无风险证券的头寸为负，纯粹是为了后面的公式整齐。但我们可以证明无风险证券确实是卖空的（即L0），买权的头寸为c= S-L。阮坚 金融系风险中性假设的二叉树定价1. 风险中性假设（Risk-neutrality） （1）风险中性概率可推出：阮坚 金融系如果把p和1-p作为概率的话，买权的均衡价相当于期末买权价值的概率平均值（预期值）用无风险利率折现后的现值。 一般来讲，它们不是状态发生的真实概率，被称为风险中性概率。另外，由于期权是有