《金融工程教学课件》第十一章 B-S模型.pptx

B-S模型金融系 阮坚布莱克-舒尔斯期权定价模型及其应用 前面一部分，我们介绍了动态无套利均衡分析方法并引入了风险中性假设，B-S模型实际上是这些概念的深化。 动态分析的二叉树定价模型可以对期权定价，但计算相当复杂，而且在那里股价变动只有两个状态，而实际上价格可能是任意的，价格的变化是连续的。风险中性的二叉树定价计算相对简单，但也存在股价的变动问题。事实上，当二叉树无限细分时，且u，d取合适的值时，二叉树一样能描述股价的正常运动规律（当然是在有效市场上）。金融系 阮坚期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在1973年——金融学家F. Black与M. Scholes发表了“期权定价与公司负债”的著名论文。该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式——Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价公式在估计公司股票价值方面的应用，更加重要的是，运用了一种新的方法——风险中性定价(Risk-Neutral Valuation)，它成为随后期权定价研究的经典方法。金融系 阮坚M. Scholes主要因为这一工作与R. Merton一道荣膺了1997年的诺贝尔经济学奖。两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：金融太多，经济学太少。他们于是向经济学与统计学评论投稿，同样在没有得到审稿意见的情况下遭到拒绝。在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文。这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先。金融系 阮坚我们通常所指单期收益率和多期收益率均为百分比收益率，它的含义直观且计算简单，但它存在一些缺点：首先，在金融研究中，我们总是假定证券的收益率（近似）服从正态分布，但是百分比收益率的概率密度函数既不对称也不可能呈现钟形外观。因而对于投资者而言，其最大的损失就是他的全部投资，不可能再多，即所谓有限负债。这样，对证券持有者而言，最坏的情形是证券的价格跌为0，这就意味着收益率的变动范围是-100%到+∞，这与正态分布规定不符。尽管我们可以通过选取适当的均值和方差，使收益率小于-100%的概率变得任意小，但这个概率不可能为0，因此，百分比收益率序列不会呈现正态分布形式。金融系 阮坚金融系 阮坚其次，如果假定单期收益率服从正态分布，那么多期收益率就不可能符合正态分布。因为虽然n个正态分布的随机变量的和仍然服从正态分布，但是n个正态分布随机变量的乘积却不服从正态分布。例如，周期收益率如果是百分比收益率，那么可以假设它服从正态分布；但是如果由5个服从正态分布的日收益率乘积计算得到的，那么它就不能认为服从正态分布，这就导致了一个悖论。我们用 表示连续复利计算的收益率 ， 表示与之等价的每年计m次复利的名义收益率，显然用这两种收益率计算的证券终值应该相等，于是有：金融系 阮坚1.股票价格的运动规律（1）股价的运动规律记按日连续计息的连续复利率其中， 为“按日计息”的日利率， 按习惯以年利率的形式表示， 是t时刻观察到的股价。金融系 阮坚连续计息的年利率为：其中，表示实际年利率（简单变化年利率）。实际上连续复利可以按照任意的时间间隔计算：金融系 阮坚股价运动的基本假设：所有的都是独立同分布的股票价格变动是连续的当n趋于无穷大时（30），由中心极限定理，可知r服从正态分布，价格的年变化 服从对数正态分布。（最近的研究发现，r并不严格服从正态分布，而是存在“厚尾”现象）注意：条件2是必须的。金融系 阮坚金融系 阮坚（2）无限细分的二叉树能够描述股价运动满足两个假设条件取适当的u，d（必须“足够快的趋于1”），以及发生概率q，就能得到同样的正态分布。金融系 阮坚线型分布主要根据曲线的尾部性能，可以区分为两类：一类为薄尾分布，一类为厚尾分布。前者指所有超过概率（极端值概率）在尾端（流量增大方向）按负指数律递减的分布，如正态分布、P-Ⅲ型分布、Gumbel极值分布等；后者指所有超过概率在尾端按负幂函数律递减的分布，如对数正态分布、对数P-Ⅲ型分布、Weibull分布等．由于负幂函数律比负指数律趋于零的速度要慢得多，因此厚尾分布对于远离一般点据的特大值，要比薄尾分布拟合得好一些。金融系 阮坚股票价格变化?金融系 阮坚股票价格服从的几何布朗运动其中 表示影响股票价格变化的随机因素几何布朗运动（ Geometric Brownian Motion ）金融系 阮坚几何布朗运动 其中 μ 和 σ 均为常数一般用几何布朗运动来描述股票价格的随机过程可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题