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普通物理学讲座之十三——由万有引力定律推导行星椭圆轨道 作者：Michaelexe 有了前面的知识，我们可以完成当年牛顿爵士的一大成就——有万有引力定律推导行星椭圆轨道。 我们先来推导椭圆的极坐标方程。 把极点选在椭圆的一个焦点上，让极轴沿着椭圆的长轴指向远离另一焦点的方向，如图。 按照定义，椭圆是到两焦点的距离之和等于常数（设这常数为2a）的点的轨迹。椭圆的方程应为 （这里设两焦点间的距离为2c）。 在上一方程中，先把左边的第一项r移到右边，再取两边的平方消去根号，我们得到 由此又可得到 这里 这样我们得到了椭圆的极坐标方程 采用极坐标 其中，（万有引力定律），。 这里M是太阳的质量，m是行星的质量，G是万有引力常数。行星的运动方程可以写成 （详见第8讲） 这里k=GM。后一方程两边乘以r得 或 这说明面积速度为常数 （常数） 再来考察方程 （13-1） 记u=1/r，则从 可得 我们有 方程（13-1）化成 即 这是一个二阶常系数线性微分方程。容易看出它的一个特解是。于是这个方程的一般解为 这式又可写成 其中 于是有 这里 我们得到了圆锥曲线的一般方程 因为旋转中的行星不会跑到无穷远去，它的轨道应该是一个椭圆。