2011年全国赛A题思路解析.doc

2011全国大学生数学建模竞赛 A题 城市表层土壤重金属污染分析 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。 现要求你们通过数学建模来完成以下任务： (1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？ 根据提供的解题思路，编写相应的程序： （1）总体思路：连续问题离散化处理。 先扩展数据范围，纵坐标上下各扩展500米，横坐标左右各扩展500米；纵坐标等间隔、横坐标等间隔各用800个点划分数据区间，生成个网格节点；判断这个网格节点中属于城区的节点，准则为以已知的319个数据点为中心，作半径为1420米的圆，若网格节点在这所有319个圆的外部，则该节点不在城区，否则为城区节点。下面的处理均在由此确定的城区节点上进行。 （2）数据拟合： 将海拔及8种重金属污染程度值均作为水平坐标的二元函数采用逆距离权重法（IDW）进行数据拟合，给出城区节点对应的海拔值及8种重金属的污染程度值对应的总共9个的矩阵，每个矩阵中城区节点对应的数据为拟合值，非城区节点对应的数据赋为NaN（这主要是为了方便作图）。 IDW方法为：设已知数据点为，对应的海拔（或污染程度）值为（），未知海拔（或污染程度）值的网格点为，则其海拔（或污染程度）值取为 ， 其中，为与的水平距离（）。 每种重金属在点处污染程度值的度量方式为 ， 其中为点处的污染物浓度，为该种重金属背景值（参见数据附表）中对应的平均值。 需要保存的数据为：海拔对应的矩阵，8种重金属污染程度值对应的矩阵。（可用二维数组或三维数组形式表示） （3）污染程度分析：单因素指标污染程度分析与综合指标污染程度分析 污染程度共分为四个等级：（无污染）、（轻度污染）、（中度污染）、（重污染）。 单因素污染程度分析又分为整个城区污染程度分析与每个功能区污染程度分析。 整个城区污染程度分析：作每种重金属污染程度值的三种等高线的平面填充图，并统计每种污染等级占城区面积的百分比（用属于每个等级的数据点数除以城区总节点数来近似）。 每个功能区污染程度分析：统计每种污染等级占各功能区面积的百分比（用属于每个等级的数据点数除以相应功能区总节点数来近似）。 在统计功能区的网格节点时需要对节点作出属于何种功能区的判断，准则为根据与给定的319个数据中水平距离最近的点判定功能区的归属。 要求：作出1张城区范围平面图及张等高线填充图；得到并保存不同污染等级所占面积百分比构成的8个的矩阵，每个矩阵的前5行分别表示5个功能区每种污染等级占各功能区面积的百分比，第6行为整个城区每种污染等级占城区面积的百分比，每个矩阵的4列对应于4个污染等级。 综合污染程度分析：采用内梅罗综合指标度量点处的综合污染程度： ， 其中（）为点处8种重金属的污染程度值（注：非污染程度等级）。 进行整个城区综合污染程度分析，作出综合污染程度值的三种等高线的平面填充图；并统计每种污染等级占城区面积的百分比（用属于每个等级的数据点数除以城区总节点数来近似）。 进行每个功能区综合污染程度分析，统计每种污染等级占各功能区面积的百分比（用属于每个等级的数据点数除以相应功能区总节点数来近似）。 要求：作出3张等高线填充图；得到并保存不同污染等级所占面积百分比构成的1个的矩阵（其行列含义与单因素污染程度分析类同）。 （4）污染主要原因分析： 去掉某种重金属指标，重新计算综合污染指标值，统计综合污染等级达到中度以上的占整个城区面积百分比的变化，用百分比的下降值作为主